Side 2 - Linearisering

#19

Man får omskrevet den oprindelige, ubehagelige differentialligning til en pæn lineær differentialligning, der oven i købet er homogen og har konstante koefficienter.

#20 - #21

Okay, jeg formoder, at det er de trigonometriske funktioner, der har gjort ligningen ikke-lineær.

En anden bevægelsesligning, er hører med er:

mL²θ'' - mx''Lsin(θ) + mgLsin(θ) = 0

hvor jeg kan sætte sin(θ) ≈ θ på sidste led, men hvad med det midterste led? Hvad kan vi gøre der?

#22

Det er jo et sæt af koblede, ikke-lineære differentialligninger. Man udnytter så, at x(t) findes ved at løse den første, lineariserede differentialligning, hvorved man med sin(θ) ≈ θ i den anden ligning får en lineær differentialligning i θ med tidsafhængige koefficienter.

Fjern de overflødige faktorer i ligningen

      L·θ'' -x''·sin(θ) + g·sin(θ) = 0 .

#23

Det er jeg ikke helt med på.

Jf. løsningsforslaget skal man antage, at x''sin(θ) ≈ 0. Hvor skulle man vide det fra?

#24

Du har, at   x'' = -(k/(2m))·x . Måske kan du vurdere, at (k/(2m))·|x| << g ?

#25

Hvordan kom du frem til det? Opgaven løses i øvrigt med symboler, dvs. jeg har ingen værdier.

Vi er i en situation, hvor der hænger en fjeder (lodret) med fjederkonstanten k, hvor der i spidsen af fjederen af fastsat et pendul med længden L og med masse m i spidsen af pendulet. Pendulet svinger så med vinklen θ målt fra lodret.

#26

Den første differentialligninge blev jo kogt ned til

        x'' = -(k/(2m))·x .

I den anden ligning skal -x''·sin(θ) lægges til g·sin(θ) , så hvis |x''| << g, kan leddet  -x''·sin(θ) jo smides væk.

#27

Nu er jeg med. Det tør jeg ikke at sige noget om, men kan man egentlig forvente, at systemets acceleration (x betegner systemets koordinat målt i samlingen mellem fjederen og pendulet) er større end tyngdeacceleration? Hvornår vil det være opfyldt?

Skal vi ikke bruge løsningen fra den første differential-ligning? Altså

x(t) = K1·cos(C1·t) + K2·sin(C2·t)

, bruge begyndelsesbetingelser, differentiere det udtryk 2 gange og så indsætte i den anden differential-ligning?

#29

Nej nej, opgaven gik ud på at finde systemets masse- og stivhedsmatrix som direkte kan aflæses ud fra bevægelsesligningen. Det var ikke meningen at løse selve bevægelsesligningen.

Et tillægsspørgsmål: hvis nu θ er tidsafhængig, altså θ(t). Hvorfor er det d( cos(θ) )/dθ = -sin(θ) og

d( cos(θ) )/dt = -sin(θ)θ'. Hvad er det for en regel der bruges i dem begge?

#30

Forslaget i #29 var til hvordan det midterste led i #22 kunne udgå.

Det er differentiering af cos hhv. af sammensat funktion.

#31

Jeg blev desværre ikke klogere på det med sammensat funktion. Hvorfor giver d( cos(θ) )/dθ = -sin(θ) og

og d( cos(θ) )/dt = -sin(θ)θ'? Kan ikke lige se, hvornår det indre differentieret giver θ' og 1?

d/dθ [cos(θ)] = -sin(θ)             (alm. afledt af cosinus)

d/dt [cos(θ(t))] = cos'(θ(t)) · θ'(t)         (kæde-regel)

#33

Det følger vel også af kæderegel i det første tilfælde, hvor det indre produkt giver dθ/dθ = 1. Jeg tror, at jeg har fanget pointen nu, tak.

I det første tilfælde differentieres mht. θ, så ved fastholdt t er det ikke en sammensat funktion