Transformation af dobbeltintegral til linjeintegral

Skal C forstås som randkurven for området R ? Altså C = ∂R ?

Del randkurven op i fire liniestykker, og beregn ∇w på hvert af disse.

#1

Det vil jeg mene, altså at det skal forstås som randkurven. Hvordan skal C = ∂R læses? Jeg glemte i øvrigt at skrive, at der skal integreres mod uret på kurven. Mit bud på linjeintegralet kommer om lidt.

#2

At C = ∂R betyder blot, at C er randen af R .

#3

I = I₁ + I₂ + I₃ + I₄, hvor

I₁ = _{(x,y) = (0,0)}∫^{(x,y) = (2,0)}(e^x, e^y) • (0,-1) dx = _{x = 0}∫^{x = 2} -e^y dx

I₂ = _{(x,y) = (2,0)}∫^{(x,y) = (2,2)}(e^x, e^y) • (1,0) dy = _{y = 0}∫^{y = 2} e^x dy

I₃ = _{(x,y) = (2,2)}∫^{(x,y) = (0,2)}(e^x, e^y) • (0,1) dx = _{x = 2}∫^{x = 0} e^y dx

I₄ = _{(x,y) = (0,2)}∫^{(x,y) = (0,0)}(e^x, e^y) • (-1,0) dy = _{y = 2}∫^{y = 0} -e^x dy

Er det korrekt forstået?

#4

Ja, det ser rigtigt ud. Udnyt så, at e^x er konstant, når y varierer, og at e^y er konstant, når x varierer.

#5

Det giver:

I₁ = _{x = 0}∫^{x = 2} -e⁰ dx = [-e⁰x]₀² = -2

I₂ = _{y = 0}∫^{y = 2} e² dy = [e²y]₀² = 2e²

I₃ = _{x = 2}∫^{x = 0} e² dx = [e²x]₂⁰ = -2e²

I₄ = _{y = 2}∫^{y = 0} -e⁰ dy = [-e⁰y]₂⁰ = 2

I = I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 0

Det gav ikke så meget mening. Facit skulle gerne være 4e² - 4.

#5

Jf. løsningsforslaget, så bruges -dx i I₃ og -dy i I₄, altså negative værdier for dx og dy. Hvorfor? Grænserne på integrationerne burde være nok til at definere retningen?

#7

Det skyldes, at i I₃ er ds = -dx, og i I₄ er ds = -dy , da ds er en positiv infinitesimal størrelse.

#8

Det forstår jeg ikke. Så vidt jeg ved, så er ds en lille del af kurvens længde. Hvordan kan denne være negativ?

#9

ds er en positiv størrelse. Det er dx der er negativ, når x går fra 2 til 0.

#10

Nu spørger jeg igen, men det er fordi jeg ikke forstår det. Hvorfor er dx negativ? Jeg troede, at min integration fra x₁ = 2 til x₂ = 0 (fra et større tal et mindre tal) gjorde min integration negativ?

F.eks.: ∫₀² x² dx = 8/3 og ∫₂⁰ x² dx = -8/3

Her har begge dx'er en positiv værdi, men det første giver et positivt tal, mens det andet giver et negativt tal pga. grænserne. Vi sætter ikke dx til at være negativ i det sidste eksempel.

#11

Nej, i det sidste integral er dx negativ. Det grænsernes rækkefølge, der angiver fortegnet af dx.

#12

Ja, det er grænsernes rækkefølge, der afgør fortegnet af det endelige resultat.

Men vi skriver da ikke minus foran dx her: ∫₂⁰ x² dx = -8/3?

Kan du komme med et eksempel, der skærer det ud i pap?

#13

Man har, for a < b,

        _a∫^b f(x) dx = _b∫^a f(x) (-dx)

At    _b∫^a f(x) dx  = - _a∫^b f(x) dx   er en definition, der er yderst hensigtsmæssig. I integralet har dx samme fortegn som (øvre grænse) - (nedre grænse). I linieintegralet i Green's teorem skal ds være positiv.

#14

De to definitioner er jeg mere eller mindre med på, men kan ikke se, hvordan det skal sammenlignes:

I₃ = _{x = 2}∫^{x = 0} e^y · -dx = _b∫^a f(y) · -dx

I₄ = _{y = 2}∫^{y = 0} -e^x · -dy = _b∫^a f(x) · -dy

Jeg kan ærlig talt ikke se det med fortegnet endnu.

#15

For integralet I3 betragter man kurven

[x(t) , y(t)] = [2-t , 2] , 0 ≤ t ≤ 2 .

Man har dx/dt = -1 , dy/dt = 0 .

Man skal beregne integralet

_t=0∫^t=2 [e^x,e^y]•[0,1] (ds/dt) dt = e² · ₀∫² (ds/dt) dt .

Her er ds/dt = √((dx/dt)² + (dy/dt)²) = 1 , hvorfor integralet reduceres til 2·e² .

Selv om dx/dt = -1, bliver ds/dt = 1 .

#16

Det gav rigtig god mening, men det krævede også, at du parametriserede x og y. Jeg tror, at jeg holder mig til den sidste metode du har skrevet op. Tak for det.

#17

Linieintegralet er defineret i ds, hvor s er buelængden, og ds skal være positiv, så s skal altså vokse i den retning, kurven gennemløbes i. Ovenfor valgte du for I₃ at parametrisere med x direkte, men da x aftager fra 2 til 0 i den parametrisering, er ds ikke lig med dx, og derfor kom fortegnet til at spille et ekstra pus.