Matematik

Optimering af en øldåse, hjælp bedes

21. oktober 2014 af RoneMe (Slettet) - Niveau: B-niveau

Undersøg om materialeforbruget er optimeret i en øl- eller sodavandsdåse..

En øldåses rumfang er typisk 0.33 L.

Husk at den samlede overflade består af sideflader og to endeflader..

Hvilke metoder skal jeg benytte?? skal vel finde højden og diameteren, før jeg kan finde differentialkvotienten.

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. oktober 2014 af mathon

substituer h beregnet ud fra volumen
i udtrykket for dåsens overflade.

Differentier og bestem overflademinimum.

Svar #2
21. oktober 2014 af RoneMe (Slettet)

Tak for svaret. Men aner ikke hvordan jeg skal gøre det? Har brug for en formel.

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. oktober 2014 af mathon

Volumenformlen:

$V=h\cdot \pi \cdot r^2=0,33$
og
overfladeformlen
$O(r,h)=\underset{bund\; og\; l\aa g}{2\cdot \pi \cdot r^2}+\underset{krum\; cyl.-flade}{h\cdot 2\pi r}=2\pi r^2+2\left ( h\pi r \right )$

Svar #4
21. oktober 2014 af RoneMe (Slettet)

Ej - jeg er helt blank. Jeg kan slet ikke finde ud af at finde h?

På forhånd tak.

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. oktober 2014 af mathon

$h\pi r=\frac{0,33}{r}$

$O(r)=2\pi r^2+2\cdot \frac{0,33}{r}$

$O(r)=2\pi r^2+\frac{0,66}{r}$

Ekstremum
kræver
$O{\, }'(r_o)=4\pi r_o-\frac{0,66}{r_{o}^{2}}=0$

hvoraf
$4\pi r_o=\frac{0,66}{r_{o}^{2}}$

$r{_{0}}^{3}=\frac{0,66}{4\pi }$

$r{_{0}}=\left (\frac{0,66}{4\pi } \right )^{\frac{1}{3}}\approx 0,3745\; dm=3,745\; cm$

$O{\, }'(r)\! \! :$          -         0         +
            0_________ r_o _________                    hvoraf det ses, at O(r) har minimum for r=r_o
$O(r)\! \! :$      aftagende       voksende

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. oktober 2014 af Soeffi

#5
$h\pi r=\frac{0,33}{r}$

$r{_{0}}=\left (\frac{0,66}{4\pi } \right )^{\frac{1}{3}}\approx 0,3745\; dm=3,745\; cm$

h₀=330cm³/(π·(3,745cm)²)=7,49cm, dvs højde er 2 gange radius i den optimale dåse. For en rigtig dåse er forholdet større og dermed er den typiske øldåse ikke optimal.

Svar #7
24. oktober 2014 af RoneMe (Slettet)

Tusind tak for hjælpen. Har en meget bedre forståelse for det. :-)

Brugbart svar (0)

Svar #8
27. juli 2015 af Soeffi

CAS løsning.

Det optimale forhold mellem diameter og højde (det, der giver lavest overfladeareal i forhold til rumfang) findes til 1:1. Forholdet mellem diameter og højde i en øldåse er ca 1:2.

Det mindste overfladeareal for en dåse med rumfanget 0,33 L ses i øvrigt at være 264 cm².

Vedhæftet fil:Screen Shot 2015-07-27 at 1.19.18 PM.png

Skriv et svar til: Optimering af en øldåse, hjælp bedes

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.