Matematik

konvergens

18. december 2014 af chokolokolo (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hvordan kan jeg se at følgende talfølge konvergerer mod 2/3? Hvorfor er den ikke divergent?

$a_n={}\frac{2n^{3}\sin \frac{1}{n}}{3n^{2}+4n}$

Brugbart svar (0)

Svar #1
18. december 2014 af peter lind

Den er divergent

Brugbart svar (0)

Svar #2
18. december 2014 af Drunkmunky

Du ser, at

$\frac{2n^{3}\sin\frac{1}{n}}{3n^{2}+4n}=\frac{2\sin\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}+\frac{4}{n^{2}}}\rightarrow \frac{0}{0} \text{ n\aa r} x\rightarrow\infty$

Så derfor kan du benytte dig af L'Hopitals regel.

Du får så også, at den anden brøk går mod 0/0, og du benytter dig af L'Hopitals regel igen, og får dermed at tælleren er lig med 12*n*sin(1/n)-8cos(1/n)-(2*sin(1/n))/n, som går mod 4 når n går mod uendelig.

Nævneren bliver da lig med 6, så du får samlet, at brøken går mod 4/6 når n går mod uendelig, som ønsket.

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2014 af peter lind

2*sin(1/n) svinger mellem +2 og -2 og går altså ikke mod 0

Hvis du i stedet dividerer med n² får du i nævneren 3+4/n -> 3 for n -∞

tælleren bliver 2n*sin(1/n) hvilket er en svingning, der forgår hurtigere og hurtiger jo større n er og med en amplitude, der går mod ∞ for n->∞

Brugbart svar (0)

Svar #4
18. december 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det vides, at sin(x)/x → 1 for x → 0 . Derfor har man n·sin(1/n) → 1 for n → ∞, og man har da

2n³·sin(1/n) / (3n² + 4n) = 2·n·sin(1/n) / (3 + 4/n) → 2/3 for n → ∞ .

Skriv et svar til: konvergens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.