Optimeringshjælp

a) Beregn arealet af en ligesidet trekant med siden x, og arealet af et rektangel med siderne x og y, og læg arealerne sammen. Indsæt x = 50 og y = 100 .

b) Bestem omkredsen O udtrykt ved x og y og udnyt O = 200 til at udtrykke y ved x. Indsæt dette i udtrykket for det samlede areal.

c) Find maksimum for funktionen T(x), der er et 2.-gradspolynomium.

Jeg forstår ikke hvordan jeg skal udnytte O = 200 og hvordan jeg skal bestemme omkredsen O udtrykt ved x og y?

#2

Jeg formoder, at omkredsen er

       O = x + x + 2y + x = 3x + 2y

idet den ene side i trekanten er sammenfaldende med den ene side i rektanglet. Man benytter så

        O = 200 = 3x + 2y

til at isolere y

         y = 100 - (3/2)x

der så indsættes i udtrykket for arealet

        T = (1/2)·x·x·(√3)/2 + xy = ((√3)/4)·x² + x·(100 - (3/2)x) = [(√3)/4 - (3/2)]·x² + 100·x

Tror jeg har forstået det nu, tak for hjælpen.

#3

Den formel for areal du bruger til sidst er det appelsin formlen? Jeg forstår ikke helt hvordan (√3)/2, havner her

Areal af ligesidet trekant =

½ * grundlinje * højde =

½ *     x         * ( x * ½√3 )

fordi

når du tegner højden i den ligesidede trekant, deler du den i to lige store dele.
Betragter du fx den højre halvdel har du en retvinklet trekant hvor

Hypotenuse = x
Den ene katete = x/2
Den anden katete = højden, h.

Ved Pythagoras findes så

h² = x² - ( ¹/₂x )² =  ⁴/₄x² - ¹/₄x² = ³/₄x²     →

h = ½√3 * x