Matematik

differentialligning

29. marts 2015 af OnceUponATime - Niveau: A-niveau

Jeg kan ikke genkende løsningsformlen til denne differentialligning. Er der nogen der kan genkende differentialligningen? Jeg ønsker ikke at kende løsningen, men bare formlen.

Vedhæftet fil: opg 5.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
29. marts 2015 af peter lind

Brug separation af variable

Brugbart svar (0)

Svar #2
29. marts 2015 af Soeffi

Brugbart svar (0)

Svar #3
29. marts 2015 af mathon

$(y-1)\, \textup{d}y=(x^2+1)\, \textup{d}x$

$\int (y-1)\, \textup{d}\left (y-1 \right )=\int (x^2+1)\, \textup{d}x$

$\frac{1}{2}\left ( y-1 \right )^2=\frac{1}{3}x^3+x+k_1$

$y=1\pm \sqrt{\frac{2}{3}x^3+2x+k}$

Svar #4
29. marts 2015 af OnceUponATime

Jeg forsøger jo ikke at integrere, men finde løsningen. Altså f(x).

Brugbart svar (0)

Svar #5
29. marts 2015 af hstreg (Slettet)

#4
Jeg forsøger jo ikke at integrere, men finde løsningen. Altså f(x).

• Husk at integration og differentiation er modsatte operationer/regningsarter.

• Du kan derfor se løsningen til hvilken som helst didifferentialligningen som konsekvensen af en integration.

• Metoden som mathon bruger i svar #2 kaldes seperation af de variable, dette er en yderst effektiv metode til at løse samtlige differential ligninger på formen.
$y^{\prime} = g(x)h(y)$ (†)
hvor g(x) er en funktion af bare x og h(y) er en funktion af kun y.

• Observer at din diffenretialligningen er på formen (†) og derfor kan løses ved seperation af variable.

Svar #6
03. april 2015 af OnceUponATime

#3 Mathon, jeg forstår ikke hvorfor du skriver (i andet trin):

d(y-1) og ikke bare dy?

Jeg forstår heller ikke, hvordan du integrerer dy? Hvis jeg skulle integrere det udtryk, ville jeg få, at:

y-1 integreret er

$\frac{1}{2}y^2-y$

Er det ikke en korrekt integration?

Brugbart svar (0)

Svar #7
03. april 2015 af peter lind

Der er brugt substitution med t = y-1 og derefter er t så omdøbt y igen.

integrationen er defineret på nær en konstant. Vælger du i din udledning konstanten ½ har du

½y²-y+½ = ½(y²-2y+1) = ½(y-1)²

De to resultater er altså ens på nær en integrationskonstant

Skriv et svar til: differentialligning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.