Matematik

Korteste afstand mellem 2 funktioner

28. april 2015 af wintherenl (Slettet) - Niveau: B-niveau

Er lidt på den, har fået denne opgave, og må indrømme at jeg ikke lige ved hvordan jeg skal gribe den an, har lavet graferne i Excel, og hvor jeg har prøvet af aflæse den, men tænker det må kunne beregnes... Nogle der kan hjælpe...???

Givet funktionerne f(x)=e^x Og g(x)=0,25*x^3

For begge gælder at grundlæggende er -3
Find den korteste afstan mellem f(x) og g(x) med 2 decimalers nøjagtighed

Angiv koordinaterne til punkterne F og G på hhv f(x) og g(x) hvor linjestykket FG er den korteste afstand.

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. april 2015 af Toonwire

Hej

Du kan se forskellen mellem de to funktioner som en ny funktion:

$h(x)=f(x)-g(x)=e^x -\frac{1}{4}x^3$

Du kan finde den minimale forskel ved at differentiere h(x) og løse h'(x) = 0
Herved fås den x-værdi der resulterer i minimal forskel. Indsæt i de originale funktioner og så har du koordinaterne til punkterne F og G

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Det er ikke nødvendigvis tilfældet, at den korteste afstand mellem de to grafer også er en lodret afstand.

Man skal vælge de to punkter (x₁ , f(x₁)) og (x₂ , g(x₂)) og så finde minimum for funktionen

D(x₁,x₂) = (x₁ - x₂)² + (e^x₁ - (1/4)·x₂³)²

dvs. man skal finde mulige stationære punkter for funktionen D(x₁,x₂) .

Brugbart svar (0)

Svar #3
28. april 2015 af Stats

Bør der ikke være kvadratrod rundt om formlen?

Tænker at du har udledt formlen fra pythagoras' formel.

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #4
28. april 2015 af SuneChr

# 2 Man har da ligningssystemet:

$\frac{\partial }{\partial x_{1}}D=2\left ( e^{x_{1}} \right )^{2}-\frac{x_{2}^{3}}{2}e^{x_{1}}+2x_{1}-2x_{2}=0$ ∧

$\frac{\partial }{\partial x_{2}}D=\frac{3}{8}x_{2}^{5}-\frac{3e^{x_{1}}}{2}x_{2}^{2}+2x_{2}-2x_{1}=0$

(Knald-go' LaTeX øvelse).

Brugbart svar (0)

Svar #5
28. april 2015 af Stats

Ser man det så som 2 ligninger med 2 ubekendte?

- - -

Mvh Dennis Svensson

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. april 2015 af SuneChr

# 5 Ja.
Den første ligning i # 4 kan bringes på formen
x³ + ax + b = 0
hvortil der findes en færdig løsningsformel.
Løsningen m.h..t. x₂indsættes i den anden ligning, som da løses m.h.t. x₁ .

Brugbart svar (1)

Svar #7
29. april 2015 af Andersen11 (Slettet)

Funktionen D(x₁,x₂) udtrykker kvadratet på afstanden som er nemmere at arbejde med. Det er ret let at indse, at afstanden er mindst mulig, hvis og kun hvis kvadratet på afstanden er mindst mulig.

Skriv et svar til: Korteste afstand mellem 2 funktioner

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.