Fysik

Enhedstrinpåvirkning

29. april 2016 af Searchmath - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har en opgave her.

Jeg startede med at finder rødderne i s^2+2*s+4=0 og får to komplekse rødder hhv. -1+-√3*i.

Jeg opstillede så differentialligningen y(t)=C1cos(√3t)e^(-t) - C2sin(√3t)e^(-t).

Jeg prøvede så at regne C1 og C2 med begyndelsesbetingelserne y(0)=0, y'(0)=1.

Indsætter begyndelsesbetingelserne og får C2=0 og C1= √3

Jeg får så t--> uendeligt og får 0 :/

men det passer ikke med svarmulighederne, er det så hverken A, B eller C? fordi y(uendelig)= 0 ?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-04-29 kl. 13.09.05.png

Brugbart svar (1)

Svar #1
29. april 2016 af mathon

Den homogene differentialligning

$y{\, }''+2y{\, }'+4y=0$
med
karakterligningen:
s^2+2s+4=0
hvis rødder er
$-1\pm \sqrt{3}\, i$

har den
fuldstændige løsning
$y(t)=e^{^{-1\cdot t}}\cdot \left ( C_1\cdot \cos\left(\sqrt{3}\cdot t\right)+C_2\cdot \sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right) \right )$

$y(t)=e^{- t}\cdot \left ( C_1 \cos\left(\sqrt{3}\cdot t\right)+C_2\sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right) \right )$

$y(0)=e^{- 0}\cdot \left ( C_1 \cos\left(\sqrt{3}\cdot 0\right)+C_2\sin\left(\sqrt{3}\cdot 0\right) \right )=0$

$y(0)=1\cdot \left ( C_1 \cos\left(0\right)+C_2\sin\left(0\right) \right )=0$

C_1=0

dvs

$y(t)=e^{- t}\cdot C_2\sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right) \right )$

Brugbart svar (1)

Svar #2
29. april 2016 af mathon

og
$y{\, }'(t)=-e^{- t}\cdot C_2\sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right) \right )+e^{-t}\cdot C_2\cdot \cos\left ( \sqrt{3}\cdot t \right )\cdot \sqrt{3}$

$y{\, }'(0)=-e^{- 0}\cdot C_2\sin\left(\sqrt{3}\cdot 0\right) \right )+e^{-0}\cdot C_2\cdot \cos\left ( \sqrt{3}\cdot 0 \right )\cdot \sqrt{3}=1$

$y{\, }'(0)=1\cdot C_2\cdot1\cdot \sqrt{3}=1$

$C_2=\frac{1}{ \sqrt{3}}$

konklusion:
$y(t)=e^{- t}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right)$

$y(t)=3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{- t}\cdot \sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right)$

Svar #3
29. april 2016 af Searchmath

Men hvilke af svarmuligederne passer?
Ingen faktisk?

Brugbart svar (1)

Svar #4
29. april 2016 af mathon

Hvis
$\mathbf{\color{Red} y(t)=3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{- t}\cdot \sin\left(\sqrt{3}\cdot t\right)}$
er

$y(0)=3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{- 0}\cdot \sin\left(\sqrt{3}\cdot 0\right)=3^{-\frac{1}{2}}\cdot1\cdot0=0$
og
$y{\, }'(t)=3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t}\cdot (-1)\cdot \sin(\sqrt{3}\cdot t)+3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t}\cdot \cos(\sqrt{3}\cdot t)\cdot 3^{\frac{1}{2}}$

$y{\, }'(t)=-3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-t}\cdot \left (\sin(\sqrt{3}\cdot t)-\cos(\sqrt{3}\cdot t)\cdot 3^{\frac{1}{2}} \right )$
$y{\, }'(0)=-3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-0}\cdot \left (\sin(\sqrt{3}\cdot 0)-\cos(\sqrt{3}\cdot 0)\cdot 3^{\frac{1}{2}} \right )=$

$y{\, }'(0)=-3^{-\frac{1}{2}}\cdot e^{-0}\cdot \left (\sin(\sqrt{3}\cdot 0)-\cos(\sqrt{3}\cdot 0)\cdot 3^{\frac{1}{2}} \right )=-3^{-\frac{1}{2}}\cdot 1\cdot\left (0 -1\cdot 3^{\frac{1}{2}} \right )=$

$3^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}$ $3^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=3^{0}=1$

Så hvad passer ikke?

Svar #5
29. april 2016 af Searchmath

Jeg er selv kommet frem til det samme, men hvad ville du så mene at svarmuligheden er?

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2016-04-29 kl. 13.09.05.png

Brugbart svar (1)

Svar #6
29. april 2016 af peter lind

|sin(wt)| ≤ 1

e^-t -> 0 for t -> ∞ så svaret er D som du også er kommet frem til i #0

Du havde faktisk ikke behøvet at tage hensyn til randbetingelserne idet det holder uafhængig af hvad C₁ og C₂ er

Noget andet er at du har ignoreret højre side. Hvis du får højre side til at give en løsning til differentialligningen som er forskellig fra 0 og endelig for alle t , er det denne løsning der holder for t->∞

Skriv et svar til: Enhedstrinpåvirkning

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.