Taylorrækken for ln(a-x) i 0.

Du skal finde de afledede for for f(x) = ln(a-x)  da a-x > 0 får du x < a

f'(x) = -1/(a-x)

f'(x) = -1/(a-x)²

f''(x) = -2/(a-x)³  o.s.v

Herefter kan du ved induktion vise den generelle formel for f⁽ⁿ⁾(x) og sætte det ind i formlen for taylorrækken

Jeg har lidt problemer med induktion kunne du måske vise nogle af trine ?

#2     Der er fortegnsfejl i #1. Man har f '(x) = 1/(x - a), f ''(x) = -1/(x - a)², og f '''(x) = 2/(x - a)³. Fortsætter man på den måde, "gætter" vi på den generelle formel f⁽ⁿ⁾(x) = (-1)^n-1((n-1)!/(x-a)ⁿ⁺¹) for alle n ≥ 1. For at vise, at den passer, skal du vise det ved induktion. Følg resten hvad der står i #1.

y = ln(x-a) = ln(u)   u= a-x

y' = (dydu)*du/dx = 1/u)*(-1) = -1(a-x)

Der gættes så at f⁽ⁿ⁾(x)= -n)(a-x)^-(n+1)

Antag at det holder for n. Du skal så vise at det også gælder for n+1. Dette gøres ved at differentiere f⁽ⁿ⁾(x)

Jeg har fået løst opgave a) i denne opgave, men er tilgengæld helt lost opgave b) - er der nogle der kan give et hint til denne opgave?

Jeg sidder simpelthen fast i den del, hvor man skal differentiere f^(n)(x), for at vise at gættet gælder for n+1 også. Er der nogen der har mulighed for at vise deres metode til dette? :)

Det er jo ellers gjort i #4 for n =1.

f⁽ⁿ⁾(x)= -n!(a-x)^-(n+1)

f(n+1) = f⁽ⁿ⁾(x)= (-n!(a-x)^-(n+1))' = (n+1)*n!(a-x)^-(n+2)*(-1) = -(n+1)!(a-x)^-(n+2)

Som bonus information kan I måske bruge at summen ifølge forholdstesten er absolut konvergent når , idet . For  er rækken en aftagende alternerende række og er derfor konvergent ifølge Leibniz' kriterium. Med disse overvejelser vil jeg tro (har ikke tjekket) at I kan benytte sædvanlige  argumenter til at fastslå punktvis/uniform konvergens.

Det er nok bare fordi jeg ikke kan få det til at gå op i sidste ende, når man skal sætte f^(n)(x)=n!*(a-x)^-(n+1) ind i den genrelle taylorrække og få det ønskede. Sætter i a=0 her? fordi det er i punktet 0. :) 

I Taylorrækken indgår f⁽ⁿ⁾(0) så det er x du skal sætte til nul

Jeg får det bare ikke til at være den ønskede taylorrække. Jeg får det derimod til at være summen af (-a)^(n+1). Det er var ikke det opgaven skulle vise. Hvad er det jeg gør forkert? :) 

Det er mig der i #4 desværre fik skrevet forkert  f⁽ⁿ⁾(x) = - (n-1)!(x-a)^-n.

Men så passer den udregning du har vist i #7 vel ikke? :) 

Metoden ændres ikke så beviset kan gennemføres med nogle meget små rettelser

Kan det passe jeg ender med resulatet summen af -1/n :) 

.Summen af hvad ? Taylorrækken er angivet i #0 så du kan sammenligne med den til kontrol Det har du da vist også gjort tidligere

b) Hint (uniform konvergens): Bestem M_n, som ikke afhænger af x, således at |-(a^-n/n)xⁿ| ≤ M_n, for alle n og alle x. Benyt så Weierstraß' M-test for at konkludere resultatet.