Fortgensvariation på en tallinje

Hov det var det forkerte billede, her er det rigtige:

Det er svært at se, om det er f eller f ', du regner på, men jeg går ud fra, det er f ' (sæt mellemrum mellem f og ', så det er tydeligt).

Du bestemmer 0-pkt. til f ' som 2/3 og 2. Disse to tal deler x-aksen op i 3 intervaller.
Hvis f '(x) skal skifte fortegn, skal den passere 0, så det kan kun ske omkring 2/3 og 2. Derfor må f ' have samme fortegn inden for hvert af de 3 intervaller.
Dette fortegn kan så bestemmes ved at tage en tilfældig værdi i det enkelte interval og beregne af f '-værdien, hvilket du også har gjort, men du har ikke taget konsekvensen mht. fortegn.
    -3 ligger i det første interval ]∞,2/3[ og f '(-3) = 11, hvilket er positivt, så f ' er positiv i ]∞,2/3[
    0 ligger i det midterste interval ]2/3,2[ og f '(0) = -4, hvilket er negativt, så f ' er negativi ]2/3,2[
    1 ligger i det sidste interval ]1,∞[ og f '(1) = , hvilket er positivt, så f ' er positiv i  ]1,∞[

ah okay. men det var -2 hvorfor har du så skrevet 2?

Fordi jeg er en klovn, og fordi mine gamle øjne overså minus, og måske også fordi jeg er så vant til at tallene angives med mindst først.
Er det godt nok, eller skal jeg lægge en ny tegning/forklaring op?

nej det helt fint, mange tak

er f så voksende i ]∞,-2[

 faldene i ]-2, 2/3[

og voksende igen i ]1,∞[ ? :)

Jep, bortset fra, at intervallerne skal være lukkede i 0-punkterne:  ]∞,-2],  [-2, 2/3] og [1,∞[ 
f vokser til og med, x = -2 osv.
Du bør så også lige have med, at f har lok max = f(-2) = .... og lok. min = f(2/3) = ...

PS! Den korrekte betegnelse er aftagende - ikke faldende.

okay. hvad med vendetangenten? er den 0?

Se evt. denne video.

f '(x) = 0 angiver, at tangenthældningen er 0 i x, altså at der er vandret tangent. Det har du i -2 og 2/3. Da din graf er voks. til venstre for -2 og aft. til højre har den lok. "toppunkt" der - og tilsvarende ved 2/3.

Der er kun vandret vendetangent, hvis fortegnsvariationen for f ' er + 0 + eller - 0 -. Monotonien ændres ikke i 0-punktet, men grafens krumning "vendes". 
  Det er jo ikke tilfældet her.