Matematik

Matematisk analyse

08. november 2016 af BlackandBlue (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej. Jeg sidder med en analyse-opgave, som måske er ret simpel, men jeg har brug for en hjælpende hånd, som kan forklare mig løsningen. Opgaven lyder;

Find summen;

$\sum_{j=1}^{n} 2^{-j}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}$

for alle n = 1, 2, 3, 4, ....

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
08. november 2016 af jantand

https://da.wikipedia.org/wiki/Geometrisk_r%C3%A6kke

Brugbart svar (0)

Svar #2
08. november 2016 af VandalS

For de første par værdier af er summen

$\begin{matrix} \sum_{j=1}^{1} {2^{-j}} &=& \frac{1}{2} \\\\ \sum_{j=1}^{2} {2^{-j}} = \frac{2}{4} + \frac{1}{4} &=& \frac{3}{4} \\\\ \sum_{j=1}^{3} {2^{-j}} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} &=& \frac{7}{8} \\\\ \sum_{j=1}^{4} {2^{-j}} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} &=& \frac{15}{16} \\ \end{matrix}$

Herfra er det forhåbentligt åbenlyst hvad summen er for et vilkårligt $n \in \mathbb{N}$ , og for at bevise din formodning kunne du for eksempel føre et induktionsbevis.

Svar #3
08. november 2016 af BlackandBlue (Slettet)

Men n er jo uendelig? Hvordan konkluderer man så opgaven?

Brugbart svar (0)

Svar #4
08. november 2016 af VandalS

Som du har skrevet det i #0 er summen endelig; selvom kan være vilkårlig stor kan den ikke være uendelig, så summen er også endelig og har derfor en veldefineret værdi. Med det sagt kan den uendelige sum

$\sum_{j=1}^{\infty}2^{-j}=\underset{n \to \infty} \lim \sum_{j=1}^{n}2^{-j}$

også tilskrives en fornuftig værdi idet afsnitssummen konvergerer.

Svar #5
08. november 2016 af BlackandBlue (Slettet)

Jeg beklager besværligheden men jeg tror jeg kræver lidt flere forklaringer for at få den fulde forståelse:) jeg kan simpelthen ikke se hvordan man kommer frem til løsningen.. Er det induktionsbeviset der er det afgørende, eller hvad?

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. november 2016 af VandalS

#5 Først og fremmest: Ser vi på

$\sum_{j=1}^n 2^{-j}\hspace{0.5cm}, n\in \mathbb{N}$

eller på

$\sum_{j=1}^\infty 2^{-j}$ ?

Svar #7
08. november 2016 af BlackandBlue (Slettet)

Mit problem er at jeg ikke kan se sammenhængen i hele opgaven. Hvad gør vi? Hvorfor gør vi som vi gør? Hvad skal induktionsbeviset bruges til? Osv. Vi går derfor udfra opgaveformuleringen..

Brugbart svar (0)

Svar #8
08. november 2016 af VandalS

All right, jeg giver dig min besvarelse så du kan følge min tankegang.

Oplysningen om at fortæller os, at er et naturligt tal. kan derfor være et vilkårligt stort naturligt tal, men ikke være uendelig. Dette betyder at vi kan skrive

$\left( 1 \right) \hspace{1cm}\sum_{j=1}^n 2^{-j} = \sum_{j=1}^{n-1} \left( 2^{-j}\right ) + 2^{-n}$

og være sikre på, at det er matematisk velbegrundet, idet begge summer vides at være endelige da er endelig.

Fra (1) kan du se, at hvis du kender summens værdi for n-1 kan du nemt finde værdien for , så summens værdi kan findes rekursivt. Vi udnytter den rekursive sammenhæng til at føre et induktionsbevis, der lader os finde et lukket udtryk for summens værdi. Til dette skal vi bruge tre ting:

1. En induktionshypotese, altså vores bud på den lukkede form.

2. En induktionsbase hvori vi ved at induktionshypotesen er sand.

3. Et induktionsskridt der tillader os at konkludere, ud fra vores induktionsbase, at induktionshypotesen er sand for alle .

Ved at skrive summen op for de første par værdier af (som i #2) virker det oplagt, at vores hypotese må være at summen har værdien

$\sum_{j=1}^n 2^{-j}=\frac{2^n-1}{2^n}$ .

For n_0=1 er

$\sum_{j=1}^{n_0} 2^{-j} = \sum_{j=1}^{1} 2^{-j} =\frac{1}{2}=\frac{2^1-1}{2^1} = \frac{2^{n_0}-1}{2^{n_0}}$

så induktionshypotesen er sand i n=1 og vi har dermed vores induktionsbase.

Til sidst tager vi induktionsskridet. Vi lader derfor være et vilkårligt naturligt tal og antager, at induktionshypotesen er sand for n-1 . Vi skal så vise, at induktionshypotesen også er sand for .

Ved at bruge formel (1) og vores antagelse har vi, at

$\large \begin{matrix} \sum_{j=1}^n 2^{-j} = \sum_{j=1}^{n-1} \left( 2^{-j}\right ) + 2^{-n} &= \frac{2^{n-1}-1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} \\\\&= \frac{2 \cdot (2^{n-1}-1)}{2\cdot 2^{n-1}} + \frac{1}{2^n} \\\\ &=\frac{2^{n}-2+1}{2^{n}} = \frac{2^n-1}{2^n} \end{matrix}$

som ønsket. Vi konkluderer, at vores induktionshypotese er sand for alle naturlige tal, altså at

$\sum_{j=1}^{n}2^{-j} = \frac{2^n-1}{2^n} \hspace{0.5cm} \forall n \in \mathbb{N}$ . Q.E.D.

Hvis nogen af teknikkerne eller tankegangen er ny for dig er du velkommen til at stille spørgsmål, så skal jeg vejlede så godt jeg kan.

Svar #9
08. november 2016 af BlackandBlue (Slettet)

Okay, jeg tror det er ved at sidde på plads. Men jeg har lige et sidste spørgsmål; hvor får du ... $+2^{-n}$ fra i formlen (1) ?

Brugbart svar (0)

Svar #10
08. november 2016 af VandalS

Det er det sidste led i summen

$\sum_{j=1}^n 2^{-j}$

som jeg blot har hevet ud så det ikke er indeholdt i summationstegnet. Omskrivning er analog til forskellen mellem

$\left( 2^{-1} + 2^{-2} +... + 2^{-(n-1)} + 2^{-n} \right)$ og

$\left( 2^{-1} + 2^{-2} +... + 2^{-(n-1)} \right) + 2^{-n}$

Skriv et svar til: Matematisk analyse

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.