Matematik

Komplekse polynomier

26. september 2017 af johnathan (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej folk, kan i hjælpe mig med at løse opgavedelen c?, jeg vedhæfter hele opgaven samt løsninger for a og b.

Et andengradspolynomium og et tredjegradspolynomium er givet ved

P₁(z) = z² −6z+10 henholdsvis P₂(z) = 1/2 z³ −4z² +11z−10

a) Bestemrødderne iP₁(z).

P₁(z)= z² −6z+10

z= $\frac{6\pm \sqrt{36-40}}{2}$ => z= $3\pm 2i$

b) Vis at 2 er rod i P₂(z) , og bestem samtlige rødder i P2(z) :

$P_{2}(z) = \frac{1}{2}z^3-4z^2+11z-10$

P₂(3)=0

P₂(z)=(z-3)Q(z)

b₂=a₃= $\frac{1}{2}$

b₁=a₂+3b₂=-4+3* $\frac{1}{2}$ = - $\frac{5}{2}$

b₀=a₁+3b₁=11+3*(- $\frac{5}{2}$ ) = $3\frac{1}{2}$

så: $Q(z)=\frac{1}{2}z^{2}-\frac{5}{2}z+3\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}z^{2}-\frac{5}{2}z+3\frac{1}{2}=0$

$z=\frac{\frac{5}{2}\pm \sqrt{\frac{25}{4}-7}}{1}$

$z=\frac{5}{2}\pm i0.866$

dvs : $P_{2}(z) = \frac{1}{2}z^3-4z^2+11z-10=(z-3)(z-(\frac{5}{2}+i0.866))(z-(\frac{5}{2}-i0.866))$

og så kommer delen c:

c) Givet polynomiet P(z) = P₁(z) · P₂(z) . Bestem samtlige rødder for P(z), angiv

deres algebraiske multiplicitet, og skriv P(z) pa ° fuldstændig faktoriseret form.

jeg har ganget dem med hinanden og fik at:

$P(z) = \frac{1}{2}z^5-7z^4+40z^3-116z^2+170z-100$

hvordan bestemmer jeg rødderne for 5.gradspolynomium?

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. september 2017 af Soeffi

#0 c) Bestem samtlige rødder for P(z)...

Du skal bruge nul-reglen: P(z)·Q(z) = 0 ⇔ P(z) = 0 ∨ Q(z) = 0.

Svar #2
26. september 2017 af johnathan (Slettet)

#1
#0 c) Bestem samtlige rødder for P(z)...

Du skal bruge nul-reglen: P(z)·Q(z) = 0 ⇔ P(z) = 0 ∨ Q(z) = 0.

hvorfor skal jeg bruge Q(z)??

Brugbart svar (0)

Svar #3
26. september 2017 af SuneChr

Rødderne i P₁ er ikke korrekte.
P₁ og P₂ har to fælles komplekse rødder.

Brugbart svar (0)

Svar #4
26. september 2017 af Soeffi

#2 P(z) og Q(z) er måske ikke det bedste.

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2017-09-26 kl. 15.38.23.png

Svar #5
26. september 2017 af johnathan (Slettet)

#3
Rødderne i P₁ er ikke korrekte.
P₁ og P₂ har to fælles komplekse rødder.

tak, det var en tastefejl $z= 3\pm i$ i P₁

og har også lagt mærke til at har lavet en fejl i delen b), hvor der burde står P₂(2)=0 og ikke P₂(3)=0

dvs. $Q(z)=\frac{1}{2}z^2-3z+5$

så rødder er 3+i og 3-i

Svar #6
26. september 2017 af johnathan (Slettet)

#4
#0

Jeg tænkte mere om det er ikke muligt og løse det i hånden?

Brugbart svar (0)

Svar #7
26. september 2017 af mathon

$\small p_1(z)=\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )$

$\small \small p_2(z)=\left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )$

$\small p(z)=p_1(z)\cdot p_2(z)=\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )\cdot\left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )=$

$\small \left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )^2\left ( z-(3-i) \right )^2$

Svar #8
26. september 2017 af johnathan (Slettet)

#7
$\small p_1(z)=\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )$

$\small \small p_2(z)=\left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )$

$\small p(z)=p_1(z)\cdot p_2(z)=\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )\cdot\left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )\left ( z-(3-i) \right )=$

$\small \left ( z-2 \right )\left ( z-(3+i) \right )^2\left ( z-(3-i) \right )^2$

så rødderne i P(z) er 2, (3+i)²og (3-i)² ?

Brugbart svar (0)

Svar #9
26. september 2017 af fosfor

Nej 2, (3+i), (3+i), (3-i), (3-i)

inklusiv multiplicitet

Brugbart svar (0)

Svar #10
26. september 2017 af swpply (Slettet)

Brugbart svar (0)

Svar #11
26. september 2017 af SuneChr

# 8
Rødderne er:
2
3 + i med multipliciteten to, d.v.s. roden forekommer to gange.
3 - i med multipliciteten to, "
________________
# 0 Til spørgsmålet i # 6 sidste linje:
Vi ved at P₂(2) = 0.
Da kan vi med polynomiers division få bragt P₂ ned på et 2.grads polynomium.

Skriv et svar til: Komplekse polynomier

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.