Matematik

Tangens

09. december 2023 af toz - Niveau: A-niveau

har fået en mat-opgave hvor der er en trekant, som har en indskreven cirkel med to punkter, hvor den tangerer den store trekant (se vedhæftning). vil vide om man "bare" kan sige, at afstanden |AC| er lig med |AP| + 5 (da man kan sige, at den går fra cirklens centrum til grundlinjen, som jo burde være 5), eller om man ikke kan, da opgaven ikke siger, at den tangerer i netop det punkt. og hvis man ikke kan, hvordan ville man så løse det?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-12-09 215041.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. december 2023 af peter lind

Brugbart svar (0)

Svar #2
09. december 2023 af peter lind

Det er korrekt

Brugbart svar (1)

Svar #3
10. december 2023 af M2023

#0. a) |OA| findes ved hjælp af Pythagoras' læresætning.

$|OA|=\sqrt{20^2+5^2}=20,6$

b) Vinkel A kaldes vA. Der gælder: tan(v_A/2) = 5/20 ⇒ v_A = 2·tan^-1(1/4) = 28,1°

c) Arealet er (1/2)·|AC|·|BC|. Tan(v_A) = |BC|/|AC| ⇒ |BC| = |AC|·tan(v_A).

Areal = (1/2)·|AC|²·tan(v_A) = (1/2)·25²·tan(28,1°) = 166,6

Brugbart svar (1)

Svar #4
10. december 2023 af M2023

#3...c) Mere præcist:

$Areal=\frac{1}{2}\cdot |AC|^2\cdot tan(v_A)=\frac{1}{2}\cdot |AC|^2\cdot tan \left ( 2\cdot tan^{-1}\left ( \frac{r}{|AP|} \right )\right ) =$

$\frac{1}{2}\cdot |AC|^2\cdot \frac{2\cdot tan\left ( tan^{-1}\left ( \frac{r}{|AP|} \right ) \right )}{1-tan^2 \left ( tan^{-1}\left ( \frac{r}{|AP|} \right ) \right )} =\frac{1}{2}\cdot |AC|^2\cdot \frac{2\cdot \frac{r}{|AP|}}{1-\left ( \frac{r}{|AP|} \right )^2} =$

$\frac{\left ( |AP|+r \right )^2 \cdot\frac{r}{|AP|}}{1-\left ( \frac{r}{|AP|} \right )^2} =\frac{|AP|\cdot \left ( |AP|+r \right )^2\cdot r}{|AP|^2-r^2}=\frac{|AP|\cdot \left ( |AP|+r \right )^2\cdot r}{\left ( |AP|+r \right )\left ( |AP|-r \right )}=$

$\frac{|AP|\cdot \left ( |AP|+r \right )^2\cdot r}{\left ( |AP|+r \right )\left ( |AP|-r \right )}=\frac{|AP|\cdot \left ( |AP|+r \right )\cdot r}{\left ( |AP|-r \right )}=\frac{20\cdot \left ( 20+5 \right )\cdot 5}{20-5}=$

$\frac{20\cdot 25\cdot 5}{15}=\frac{500}{3}=166,7$

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. december 2023 af M2023

#4 Kortere:

$Areal=\frac{|AP|\cdot \left ( |AP|+r \right )\cdot r}{\left ( |AP|-r \right )}=\frac{20\cdot \left ( 20+5 \right )\cdot 5}{20-5}=\frac{500}{3}=166,7$

Skriv et svar til: Tangens

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.