Matematik

Vektorer

27. januar kl. 13:00 af Lalode - Niveau: A-niveau

Hej jeg sidder med en opgave som jeg ikke kan finde ud af, er der en som kan hjælpe mig på vej?

Vedhæftet fil: MATEMATIK.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
27. januar kl. 14:06 af M2023

#0. Jeg indsætter billedet.

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. januar kl. 15:28 af ringstedLC

$\begin{align*} \vec{a}\cdot \vec{b} &= |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos (u-v) \\ \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|} &= \cos (u-v)=\cos(w) \end{align*}$

Vedhæftet fil:_0.png

Svar #3
27. januar kl. 17:34 af Lalode

Er der en måde man kan forklare påstanden ud fra enhedscirklen?

Brugbart svar (1)

Svar #4
27. januar kl. 19:35 af M2023

#0. Skalarproduktet af vektor a og vektor b = a·b = a₁·b₁ + a₂·b₂. Dette kan skrives på følgende måde, hvor v er vektor a's vinkel med vandret og u er vektor b's vinkel med vandret:

$\binom{a_1}{a_2}\cdot \binom{b_1}{b_2}= \binom{|\overrightarrow{a}|\cdot cos(v)}{|\overrightarrow{a}| \cdot sin(v)}\cdot \binom{|\overrightarrow{b}|\cdot cos(u)}{|\overrightarrow{b}|\cdot sin(u)}=$

$|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \left ( cos(v) cos(u)+ sin(v) sin(u) \right )=$

$|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \left ( \frac{cos(v-u)+cos(v+u)}{2}+ \frac{cos(v-u)-cos(v+u)}{2} \right )=$

$|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| cos(v-u)$

Svar #5
27. januar kl. 20:18 af Lalode

Jeg forstår ikke hvad der sker ved sætning 3. Hvor bliver sinus af, og hvorfor ganges der med 2 og hvorfor står der minus ved noget af det og plus ved andet?

Svar #6
27. januar kl. 20:36 af Lalode

Hov, jeg mener dividere og ikke ganges

Brugbart svar (1)

Svar #7
27. januar kl. 20:43 af Eksperimentalfysikeren

Der er en serie formler for sinus og cosinus til sum og differens af vinkler. Det er to af disse formler, der er benyttet. Man kunne også have benyttet en anden af disse formler, nemlig cos(v-u) = cos(v)cos(u)+sin(v)sin(u).

Prøv at se i dine lærebøger efter "sumformler". De står nok også i formelsamlingen.

Brugbart svar (1)

Svar #8
27. januar kl. 20:50 af ringstedLC

#3 Enhedsvektorer er stedvektorer i enhedscirklen:

$\begin{align*} \textup{Vekt.\,med\,pol.\;koordinater}:\\ \vec{a}=\Bigl(\bigl|\,\vec{a}\,\bigr|;u\Bigr)&\;\;,\;\vec{b}=\Bigl(\bigl|\vec{b}\,\bigr|;v\bigr) \\ \vec{e}_a=\binom{\cos(u)}{\sin(u)}&\;\;,\;\vec{e}_b=\binom{\cos(v)}{\sin(v)} \\ \vec{e}_a\cdot \vec{e}_b &= \cos(u)\cdot \cos(v)+\sin(u)\cdot\sin(v) \\ &= \frac{\cos(u-v)+\cos(u+v)+\cos(u-v)-\cos(u+v)}{2} &&\textup{Se nedenst\!\aa ende!} \\ \vec{e}_a\cdot \vec{e}_b &= \frac{2\cdot \cos(u-v)}{2} \\ \vec{a}\cdot \vec{b}= \bigl|\,\vec{a}\,\bigr|\cdot \bigl|\,\vec{b}\,\bigr|\cdot \vec{e}_a\cdot \vec{e}_b &= \bigl|\,\vec{a}\,\bigr|\cdot \bigl|\,\vec{b}\,\bigr|\cdot \cos(u-v)\end{align*}$

* http://www.formel.dk/Matematik/Geometri/trigonometriske_sam_del2.htm

Brugbart svar (0)

Svar #9
27. januar kl. 21:02 af Eksperimentalfysikeren

Den formel, jeg refererer til står i del1:

http://www.formel.dk/Matematik/Geometri/trigonometriske_sam_del1.htm

Det er nummer 2 i højre søjle.

Grunden til, at jeg nævner den, er, dels at den er enklere at bruge, og dels at det er den formel, der blev udledt først, da jeg underviste. Den blev udledt ved nogle geometriske betragtninger i enhedscirklen. Bagefter blev den brugt til at udlede de andre formler.

Svar #10
27. januar kl. 21:15 af Lalode

Tusinde tak for hjælpen!

Brugbart svar (0)

Svar #11
30. januar kl. 00:55 af SuneChr

Den korte argumentation er:
cos til vinklen mellem to enhedsvektorer er vektorernes skalære produkt.
Da cos til en vinkel er lig med cos til samme negative vinkel,
er argumentationen på plads.

Skriv et svar til: Vektorer

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.