Matematik

Andengradspolynomium

30. januar kl. 15:57 af YellowDuck - Niveau: A-niveau

Hej, jeg har lige et spørgsmål ift. min opgave som lyder følgende.

Et stykke metal har form som et rektangel med sidelængderne h og 2 r. To halvvirkler med radius r skæres ud af metalstykket som vist på figuren. Det tilbageværende metalstykke har omkredsen 6.

Hvor jeg h?ar bestemt h og hvor jeg har gjort rede for, at arealet af det tilbageværende metalstykke som funktion af r kan beskrives ved A(r)=6r-3πr^(2).

Dermed kommer opgaven: Bestem r, så metalstykkets areal bliver størst muligt.

Jeg forstår ikke rigtigt hvordan jeg skal gøre, jeg ved at jeg skal bruge differentialregning og løse ligningen A'(r)=0 men jeg forstår det stadig ikke helt rigtigt, jeg har brug for en begrundelse for hvorfor og hvordan man gør.

Brugbart svar (0)

Svar #1
30. januar kl. 16:13 af AMelev

Upload lige et billede af opgaven inkl. figuren.

Brugbart svar (0)

Svar #2
30. januar kl. 16:26 af Anders521

#0 & #1 se svar nr. 3 i https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1960883

Brugbart svar (0)

Svar #3
30. januar kl. 16:32 af mathon

Du véd sikkert, at

$\small A{\, }'(r)>0 \textup{ betyder at, }A(r)\textup{ er voksende}$

$\small A{\, }'(r)=0 \textup{ betyder at, }A(r)\textup{ har max/eller min}$

$\small A{\, }'(r)<0 \textup{ betyder at, }A(r)\textup{ er aftagende}$

$\small \begin{array}{llllll} A{\, }'(r)=6-6\pi r=0\\\\ 1-\pi\cdot r=0\\\\ r=\frac{1}{\pi} \end{}$

$\small \begin{array}{llllll} \textup{fortegnsvariation }\\ \textup{for }A{\, }'(r) \end{}$ + 0 -
      $\small \begin{array}{llllll} r\textup{-variation} \end{}$    0____________ $\small \begin{array}{llllll} \frac{1}{\pi} \end{}$ ____________
      $\small \begin{array}{llllll} \textup{monotoni }\\ \textup{for }A(r) \end{}$    $\small \begin{array}{llllll} \textup{voksende }\; \end{}$    $\small \textup{max}$ $\small \begin{array}{llllll}\; \; \; \; \textup{aftagende } \end{}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
30. januar kl. 17:03 af mathon

$\small \begin{array}{llllll} \textbf{eller}\\&\textup{parablen }A(r)=&-3\pi\cdot r^2+6r\\& \textup{har nedadvendte }&\textup{grene}\\&\textup{og dermed }&\textup{maksimum i toppunktet:}&(\frac{1}{\pi},6r-\frac{3}{\pi}) \end{}$

Svar #5
31. januar kl. 00:28 af YellowDuck

Mange tak for hjælpen! Jeg forstår det nu :))

Brugbart svar (0)

Svar #6
31. januar kl. 02:58 af ringstedLC

Dette er en typisk optimeringsopgave.

- Relationen mellem to dimensioner (r og h) er bestemt af en begrænsning (omkredsen). Den ene skal så udtrykkes ved den anden.

- Der opstilles så en funktion for arealet (eller måske rumfanget) hvori kun den anden indgår som den uafhængige variabel. Funktionen burde iøvrigt været opstillet med et kriterie:

$A(r)=6\,r-3\,\pi\,r^2\;,\;0< r< \tfrac{2}{\pi}$

da A skal være positiv.

- Endeligt spørges til optimering af funktionen, fx "mindste/største...", "korteste/længste...". Det er funktionens ekstremum som fx kan bestemmes med diff.-regning.

Svar #7
31. januar kl. 16:53 af YellowDuck

hvor kommer 2 over pi fra? Hvorfor gør du det.

Jeg har også forsøgt at bestemme funktionens ekstremum ved hjælp af nspire kommandoen, men jeg får det til 0, så A'(r)=0 og det giver ikke rigtig mening for mig

Brugbart svar (0)

Svar #8
31. januar kl. 17:53 af mathon

$\small \small \begin{array}{llllll}\textbf{\#7}\\& \textup{Define }&A(r)=6r-3\pi\cdot r^2\\\\& \textup{Define }&Am(r)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} r}\left ( A(r) \right )\\\\&& \textup{solve}\left ( Am(r)=0,r \right )\\\\&& r=? \end{}$

Svar #9
31. januar kl. 17:56 af YellowDuck

Jeg har fået r=0

Brugbart svar (0)

Svar #10
31. januar kl. 18:06 af ringstedLC

#8 Tjek for tastefejl!

#7
hvor kommer 2 over pi fra? Hvorfor gør du det.

Når toppunktet har x_T = 1/π og A(0) = 0, er den anden rod 2/π pga. symmetri.

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. januar kl. 18:19 af mathon

... er den anden rod $\small \tfrac{2}{\pi}$ pga. symmetrien om symmetriaksen $\small x=\tfrac{1}{\pi}$

Brugbart svar (0)

Svar #12
31. januar kl. 19:03 af AMelev

#7
hvor kommer 2 over pi fra? Hvorfor gør du det.

Jeg har også forsøgt at bestemme funktionens ekstremum ved hjælp af nspire kommandoen, men jeg får det til 0, så A'(r)=0 og det giver ikke rigtig mening fo⇔r mig

Der er flere forskellige metoder til at løse opgaven.
A(r) := 6r - 3π·r²
Metode1: A(r) er et 2. gradspolynomium, og grafen er en parabel med grenene nedad, som har toppunkt (maksimum) midt mellem nulpunkterne
A(r) = 6r - 3π·r² = r·(6 - 3π·r), fås ved at sætte r uden for parentes
A(r) = 0 ⇔ r = 0 eller (6 - 3π·r) = 0 (Nulreglen) ⇔ r = 0 eller r=6/(3π) = 2/π
Toppunktets 1.koordinat er dermed 1/π, så arealet er størst, når r= 1/π
Det kan også bestemmes vha. toppunktsformlen.

Metode 2: fMax-ordren i TINspire
definer A(r) med a(r) := 6r - 3π·r²
fMax(a(r),r) → r=1/π

Metode 3: Nulpunkter og fortegn for A'(r)
A'(r) = (6r - 3π·r²)' = 6 - 6π·r i Nspire da(r):=d/dr(a(r)
A'(r) = 0 ⇔ 6 = 6π·r ⇔ 6/(6π) = r ⇔ 1/π. i Nspire solve(da(r)=0,r)
Da π = 3.14...., ligger 1/π mellem 0 og 1
Fortegn for A' bestemmes på hver side af nulpunktet 1/π
Til venstre for 1/π fx r = 0: A'(0) = 6 - 6π·0 = 6 positiv, så A(r) er voksende til venstre for 1/π
Til højre for 1/π fx r = 1: A'(1) = 6 - 6π·1 = 6 - 6π negativ, så A(r) er aftagende til højre for 1/π
Dermed er 1/π et maksimumspunkt for A.

NB! Maksimum, dvs. det største areal, er A(1/π)

Svar #13
31. januar kl. 19:25 af YellowDuck

Ah det giver mening

Brugbart svar (0)

Svar #14
15. februar kl. 10:42 af mathon

Parabelsymmetri:

$\small \begin{array}{llllll}&& ax^2+bx+c=a(x-h)^2+k\quad \textup{n\aa r (h,k) er toppunktet}\\ \textup{hvoraf:}\\&& a\cdot \left ( h-x_o-h \right )^2+k=a\cdot \left ( -x_o \right )^2+k&=&a\cdot { x_o} ^2+k\\\textup{og}\\&& a\cdot \left ( h+x_o-h \right )^2+k&=&a\cdot {x_o}^2+k\\\\ \textup{dvs:}\\&& a\cdot \left ( h-x_o \right )^2+b\cdot \left ( h-x_o \right )+c=a\cdot \left ( h+x_o \right )^2+b\cdot \left ( h+x_o \right )+c \end{}$

Skriv et svar til: Andengradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.