Mangel på bevis

Sæt a = [a₁,a₂,a₃] og b = [b₁,b₂,b₃] og gå så ud fra definitionen

        a × b = [a₂b₃-a₃b₂ , a₃b₁-a₁b₃ , a₁b₂-a₂b₁] ,

og beregn så

        |a × b|² = (a₂b₃-a₃b₂)² + (a₃b₁-a₁b₃)² + (a₁b₂-a₂b₁)²

                     = a₂²b₃² + a₃²b₂² - 2a₂a₃b₂b₃ + a₃²b₁² + a₁²b₃² - 2a₁a₃b₁b₃ + a₁²b₂² + a₂²b₁² - 2a₁a₂b₁b₂

                     = a₁²·|b|² - a₁²b₁² + a₂²·|b|² - a₂²b₂² + a₃²·|b|² - a₃²b₃²

                        - 2a₂a₃b₂b₃ - 2a₁a₃b₁b₃ - 2a₁a₂b₁b₂

                      = |a|²·|b|² - (a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃)²

                      = |a|²·|b|² - (a•b)²

                      = |a|²·|b|² - |a|²·|b|²·cos²(v)

                      = |a|²·|b|²·sin²(v) ,

hvor v er vinklen mellem de to vektorer a og b .

#3

Man benytter jo, at 

        sin²(v) = 1 - cos²(v)

Derudover benyttes, at vinklen v mellem to vektorer a og b kan bestemmes ved

        cos(v) = (a•b) / (|a||b|),

og at længden |a| af en vektor a kan beregnes ved

        |a|² = a•a = a₁² + a₂² + a₃² .