Matematik

Kan det passe ?

05. juli 2014 af bjerg11 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej

Jeg har været igennem et opgavesæt fra HTX matematik A-niveau 31. maj 2012

Jeg fandt en sjov/nem opgave, men jeg ved ikke om jeg mangler noget ?

Jeg beder jer herinde om at rette evt. fejl, tak.

Det er opgave nummer 4 : a) , b) og c)

Opgavesættet er Matematik HTX A-niveau 31. maj 2012

http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF12/Proever%20og%20eksamen/120608%20Mat%20A%20htx.ashx

Vedhæftet fil: Matematik htx a.docx

Brugbart svar (1)

Svar #1
05. juli 2014 af Andersen11 (Slettet)

Fremgangsmåden er korrekt, men resultatet i c) er kun tilnærmelsesvis korrekt. Man bør argumentere for, hvorfor |AP| = |AQ| (vinkel APQ er en tangentvinkel, hvis ben er lige lange). Da AQ er tangent til cirklen, er radius OQ vinkelret på tangenten AQ, og derfor er trekant AOQ retvinklet, så man kan benytte Pythagoras til at beregne hypotenusen |OA|:

|OA|² = |OQ|² + |AQ|² = 5² + 20² = 5²·(1+4²) = 17·5² , så

|OA| = 5·√17 ≈ 20,6155 .

b) Vinklen A/2 findes som vinkel i den retvinklede trekant AOQ, så

tan(A/2) = |OQ| / |AQ| = 5/20 = 1/4 ,

og dermed

A = 2·tan^-1(1/4) = 28,072º .

Det er vigtigt at angive gradtegnet, når vinklen måles i grader.

c) Man har, at tan(A/2) = 1/4 og dermed

tan(A) = 2·tan(A)/(1-tan²(A)) = 2·(1/4)/(1 - (1/4)²) = 8/15 .

Arealet af den retvinklede trekant ABC er da

T = (1/2)·|AC|·|BC| = (1/2)·|AC|²·tan(A) = (1/2)·25²·8/15 = 4·25·5/3 = 500/3 (eksakt) .

I matematiske opgaver som denne skal der ikke angives enheder på længder og arealer.

Brugbart svar (0)

Svar #2
05. juli 2014 af mathon

eller
$T=\frac{r^2}{\tan\left ( \frac{A}{2} \right )\cdot \tan\left ( \frac{B}{2} \right )\cdot \tan\left ( \frac{C}{2} \right )}=\frac{r^2}{\tan\left ( \frac{r}{20} \right )\cdot \tan\left ( \frac{90^{\circ}-A}{2} \right )\cdot \tan(45^{\circ})}=$

Brugbart svar (0)

Svar #3
05. juli 2014 af mathon

$\frac{25}{\frac{5}{20}\cdot \tan\left (45^{\circ}-\frac{A}{2} \right )\cdot 1}=\frac{25}{\frac{1}{4}\cdot \frac{\tan(45^{\circ})-{\tan(\frac{A}{2})}}{1+\tan(45^{\circ})\cdot \tan\left ( \frac{A}{2} \right )}\cdot 1}=\frac{25}{\frac{1}{4}\cdot \frac{1-\frac{1}{4}}{1+1\cdot \frac{1}{4}}}=\frac{25}{\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{5}}=$

$\frac{25\cdot 20}{3}=\frac{500}{3}$

..................

mindre korrektion til #1

$\tan(A)=\tan\left ( \frac{A}{2}+\frac{A}{2} \right )=\frac{2\cdot \tan(\frac{A}{2})}{1-\tan^2\left ( \frac{A}{2} \right )}=\frac{2\cdot \frac{1}{4}}{\frac{16}{16}-\frac{1}{16}}=\frac{2}{\frac{15}{4}}=\frac{8}{15}$

Brugbart svar (0)

Svar #4
05. juli 2014 af Andersen11 (Slettet)

Jeg takker for korrektionen. Ja, der skulle have indgået A/2 i #1 på første højreside i udtrykket under
c) for tan(A):

tan(A) = 2·tan(A/2)/(1-tan²(A/2)) = 2·(1/4)/(1 - (1/4)²) = 8/15

Skriv et svar til: Kan det passe ?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.