Side 2 - Konvergens og divergens

#20

Ja, men n! , hvor n er et naturligt tal, er jo defineret som produktet af alle de naturlige tal fra 1 og op til og med n .

        n! = n · (n-1) · (n-2) · ... · 3 · 2 · 1

Det burde ikke være vanskeligt at se, hvordan man så kommer fra n! til (n+1)! .

#21

Jeg har fanget den! Tak.

Der er et eksempel på en anden opgave, men forstår den ikke:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Skal vi finde ud af, om det er a_n der er konvergerende eller b_n?

Overskriften referer til denne her del af teorien, men er ikke sikker på, om det nu er den de bruger?:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/2.jpg

#22

Her er der tale om en række, der dannes ud fra to følger

       ∑^∞_n=0 (a_n + b_n) = ∑^∞_n=0 (i + (1/2))/2³ⁿ .

Man benytter et kriterium for konvergens af en række.

#24

Et par spørgsmål (håber du kan svare på dem):

1) Hvorfor tager de n = 0 med? Jeg fik det indtryk, at man normalt ikke brugte n = 0, men at man startede fra n = 1?

2) Hvordan kan man se, at forholdet af de "successive termer" er 1/2, 1/4, 1/2, 1/4...?

3) Hvordan bruger de Teorem 7 til at slutte, at der er tale om konvergens, men at den ikke har en grænse?

#25

1) Der er da ikke noget i vejen for at starte med n = 0. hvis du hellere vil starte med 1, kan du jo bare omnummerere følgerne og sætte m = n+1 , hvor m starter med 1.

2) Hvert led i rækken har formen k/2ⁿ⁺³ . Forholdet |z_n+1 / z_n| er da (1/2ⁿ⁺⁴) / (1/2ⁿ⁺³) = 1/2 < 1.

Jeg har kombineret leddene (a_n+b_n) . Hvis de holdes adskilt, som det er gjort i det, du har vedlagt, er forholdet så

     |b_n/a_n| = 1/2 fulgt af |a_n+1/b_n| = 1/4 , osv.

#26

Ok, så man kunne også have startet med 1 og derefter fortsætte med 2,3,4 etc.

Jeg går ud fra, at du har omskrevet (i + (1/2))/2³ⁿ (fra tidligere) til k/2ⁿ⁺³ med k = i + 1/2, men skulle det ikke være k/2³ⁿ?

#27

Jo, du har ret, jeg skrev forkert der, så lad mig korrigere linien fra #26:

2) Hvert led i rækken har formen k/2³ⁿ . Forholdet |z_n+1 / z_n| er da (1/2³ⁿ⁺³) / (1/2³ⁿ) = 1/2³ < 1.

#28

Enig, og da 1/8 < 1, må rækken konvergere.

Hvad er det helt præcist der menes med successive led? Kan heller ikke se systematikken med at kigge på "forholdet" mellem de successive led.

#29

I en række   ∑^∞_n=0 a_n   er forholdet mellem successive led forholdet

        |a_n+1 / a_n| .

Det er det forhold, der skal være mindre end eller lig med et q < 1 for alle n fra et vist trin.

#30

Hvis vi betrager a₀+b₀ som et led i eksemplet, så giver forholdet |(a₁+b₁) / (a₀+b₀)| = 1/8 og hverken 1/2 eller 1/4. Hvis vi betragter hvert enkelt led som i bogen, så giver |a₁/a₀| = 1/8 og |b₁/b₀| = 1/8.

Jeg prøver at forstå mønsteret 1/2, 1/4, 1/2, 1/4 og hvad de kan konkludere ud fra det? Jeg synes ikke, at jeg blev klogere på forklaringen i #26.

#31

Ja, i mine betragtninger tog jeg an+bn sammen som ét led, derfor 1/8 .

Hvis de holdes adskilt, skal man danne forholdene som jeg nævnte i #26

    |b_n/a_n| = 1/2 fulgt af |a_n+1/b_n| = 1/4 osv.

Man danner jo en ny række     ∑^∞_n=0 c_n , hvor c₀ = a₀, c₁ = b₀, c₂ = a₁, c₃ = b₁, c₄ = a₂, c₅ = b₂, altså

        c_2n = a_n, c_2n+1 = b_n .

Du betragter ∑ a_n og ∑ b_n særskilt, men de skal jo kombineres.

#32

Jo, så får man:

|b₀/a₀| = 1/2, |a₁/b₀| = 1/4... nu passer det og til enhver n-værdi, får vi et tal, der under 1. Det er vel konklusionen og at forholdet (1/2, 1/4, 1/2, 1/4) vil fortsætte i en uendelighed. Det "rigtige" svar er  vel, at rækken ikke konvergerer eller?

#33

Der findes jo så et tal, q,  nemlig q = 1/2, med den egenskab, at |c_n+1/c_n| ≤ q < 1 for alle n fra et vist trin, og derfor er rækken konvergent ifølge dit Theorem 7.

#34

Jeg kan godt se, at q = 1/2 opfylder betingelsen. Men vi har sådan set ikke fundet ud af, hvilken værdi rækken konvergerer mod. Det blev der alligevel heller ikke spurgt om.

Jeg synes derudover, at det var lidt mærkeligt med q. Vi bruger den jo ikke til noget brugbart - ud over at den passer ind i Teorem 7.

#35

Rækkens sum indgår ikke konvergenskriteriet Theorem 7. Der indgår forholdet mellem successive led, og det har vi vist er ≤ 1/2 for alle n fra et vist trin, og derfor er rækken konvergent. Værdien af q bruges jo til at vise, at rækken er konvergent.

#36

Mener du, at formålet med Teorem 7 ikke går ud på at finde konvergenstallet, men derimod at finde ud af, om en given række er konvergent?

Du kunne også lave et eksempel, hvor forholdet mellem de successive led var f.eks. 1/2, 1/4, 1/3, 1/7, men så ville q her igen være 1/2. Jeg synes bare, at dette tal virker lidt overflødigt. Du kommer jo frem til, at samtlige forhold er under 1, hvilket må betyde, at rækken er konvergent.

#37

Ja, hvad kan det ellers være? Rækkens sum indgår jo ikke i teoremet.

Forholdet mellem successive led skal fra et vist trin alle være mindre end eller lig med det samme tal q, der er skarpt mindre end 1. Tallet q er da ikke overflødigt; det er jo væsentligt, at det er mindre end 1.

Med dette teorem kan man vise, at visse typer af rækker er konvergente uden at kende rækkernes sum.

Der skal ikke bare gælde, at samtlige forhold mellem successive led er mindre end 1. Fra et vist trin skal forholdene alle være mindre end det samme tal, der er mindre end 1.

For eksempel kan man se på rækken   ∑^∞_n=1 a_n = ∑^∞_n=1 1/n . Her gælder der, at |a_n+1/a_n| = n/(n+1) < 1 , men her gælder der ikke, at vi kan finde et q < 1 , så at |a_n+1/a_n| ≤ q < 1 for alle n fra et vist trin, fordi dette forhold selv konvergerer mod 1. Rækken ∑^∞_n=1 1/n er som bekendt ikke konvergent.

#38

Så jeg må altså godt kalde q for "grænseværdi" og som samtidig er under 1. Det er den værdi som jeg aldrig vil overskride for en given n-værdi.

Nu skriver du "fra et vist trin". I eksemplet fra før viste det sig umiddelbart, at forholdet mellem de successive led skiftede mellem 1/2 og 1/4 hele tiden. Er det så ikke gældende for alle n her?

#9

Det er ikke en grænseværdi som sådan, men et tal, der indgår i et konvergenskriterium.

Jo, i den betragtede opgave gælder det for alle forholdene. men som altid, når det drejer sig om følger og rækker, er det uden betydning for spørgsmål om konvergens hvad der foregår "up front" i følgen eller rækken. Det drejer sig udelukkende om, hvad der sker fra et vist trin.