Side 3 - Konvergens og divergens

#40

Hvis jeg nu bruger dit eksempel på 1/n, så vil jeg for de første 6 led (n) få:

1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6

De tilhørende successive forhold bliver:

1/2, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6,

hvor alle led er under 1. Vi har altså ikke een værdi, der går igen som vi kan bruge som vores q. Mente du det? Hvorfor konvergerer rækken 1/n ikke, når n gående mod uendelig er 0 (en anden test for konvergens)?

#41

For rækken ∑ 1/n kan vi ikke finde et q < 1 , så at forholdene n/(n+1) ≤ q < 1 for alle n fra et vist trin, fordi
n/(n+1) kommer vilkårligt tæt på 1. Hvis jeg vælger et q < 1, kan vi løse ligningen

        N/(N+1) = q

og finder at

        N = q/(1-q)

og da funktionen n/(n+1) er en voksende funktion, vil n/(n+1) > q for alle n > N . Vi kan derfor ikke finde et
q < 1, der kan fungere som et overtal for forholdene |a_n+1/a_n| for denne række, og vi kan ikke benytte Teorem 7 til at undersøge, om denne række er konvergent. Rækken er faktisk divergent.

#42

Ja, det kan jeg se, men hvordan kunne du afgøre, at n/(n+1) kom tæt på 1? Hvilke værdier satte du ind i n?

Hvad med Teorem 9:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/3.jpg

Kunne vi bruge den på rækken 1/n? Det ser ud til, at det holder for n > 1, men jeg tror, at q driller igen. Kan vi vise, at vi ikke kan finde en q her?

#43

Hvad mener du med at sætte værdier ind? Jeg viste i #42, at for et vilkårligt q < 1 kan vi finde et N, så at
n/(n+1) > q for alle n > N .

Du kan vel også se, at   n/(n+1) = 1/(1+(1/n)) → 1 for n → ∞ ?

Teorem 9 kan heller ikke bruges her. Med den harmoniske række ∑ 1/n har man

        |z_n|^1/n = (1/n)^1/n

som går mod 1 for n → ∞ , og her kan man ikke finde et q < 1, så at (1/n)^1/n ≤ q < 1 for alle n fra et vist trin.

Bemærk, at  x^x = e^x·ln(x) , og at x·ln(x) → 0 for x → 0⁺ .

#44

Jeg forstod ikke den sidste linje. Kan du prøve at forklare det på en anden måde uden at det bliver for indviklet?

#45

Den sidste linie var taget med for at vise, at  (1/n)^1/n → 1 for n → ∞ .

#46

Sidste spørgsmål:

Plejer man ikke at lade n gå mod uendelig? Hvorfor nu 0⁺? Det er lidt forvirrende. Er der ikke regler for, hvornår man gøre det ene og det andet?

#47

Du kan jo erstatte x med (1/n) . Hvis n går mod ∞ , går 1/n mod 0 . Jeg skrev x → 0⁺ fordi x her kun kan gå mod 0 gennem positive værdier (fra højre), da ln(x) ikke er defineret for negative værdier af x.

#48

Jeg har fanget pointen nu! Tak for hjælpen. :-)

Jeg håber, at du vil kigge på det her, men det handler stadigvæk om konvergens og hvordan man bruger en cirkel til at afgøre, om rækken er konvergent eller ej.

De viser i det følgende 3 eksempler:

https://dl.dropboxusercontent.com/u/31729551/1.jpg

Hvordan kommer de frem til de konklusioner som de gør og hvor indgår radius (R = 1) i ens beregning?

#50

Der gives tre eksempler for at vise, at man ikke kan sige noget generelt om en rækkes opførsel på randen af konvergenscirklen.

De tre rækker har alle konvergensradius R = 1.

Rækken ∑ zⁿ/n² konvergerer på konvergenscirklens rand hvor |z| = 1, da rækken ∑ 1/n² er konvergent.

Rækken ∑ zⁿ/n er konvergent for z = -1, men divergent for z = 1 .

Rækker ∑ zⁿ er divergent overalt på konvergenscirklens rand, da |z|ⁿ = 1 .

#51

Jeg forstår det bare ikke, fordi det er stadigvæk nyt stof.

Hvis vi kigger på den første. Hvordan afgør man, hvad konvergensradius er? Kan man selv regne den ud, hvis den ikke blev oplyst? Hvis jeg bruger 'ratio-test'-metoden på ∑ 1/n², så får jeg:

1/(n+1)² / (1/n²) = n²/(n+1)²

som må gå mod 1 for n gående mod uendelig? Det er da ikke konvergent så?

#52

Ja, man kan benytte forholdet mellem koefficienterne i en potensrække til at bestemme rækkens konvergensradius. Hvis rækken kaldes ∑ a_nzⁿ og hvis alle a_n ≠ 0, og hvis talfølgen |a_n+1/a_n| er konvergent med grænseværdi c, har potensrækken konvergensradius R = 1/c .

Deraf ser man, at alle tre potensrækker har konvergensradius R = 1.

#53

Jeg kom frem til i #52, at grænseværdien måtte være 1, deraf konvergensradius R = 1/1 = 1. Fint, men hvordan kan du konkludere, at ∑ zⁿ/n² og ∑ 1/n² er konvergente?

#54

Hvis rækken  ∑ |z|ⁿ/n² er konvergent, er rækken  ∑ zⁿ/n² konvergent. Når |z| = 1 reduceres rækken ∑ |z|ⁿ/n² til ∑ 1/n² , som vides at være konvergent (eller som kan vises at være konvergent).

Man kan vise, at rækken ∑^∞_n=1 1/(n·(n+1)) er konvergent, idet

        1/(n·(n+1)) = 1/n - 1/(n+1)

og det n'te afsnit af rækken er da

        ∑ⁿ_j=1 1/(j·(j+1)) = ∑ⁿ_j=1 ((1/j) - (1/(j+1)) = 1 - 1/(n+1) .

Derfor er rækken ∑^∞_n=1 1/(n·(n+1)) konvergent med sum 1 .

Da  1/n² ≤ 1/(n·(n-1)) , følger det så, at rækken ∑^∞_n=1 1/n² også er konvergent.

#55

Ok, hvis vi tager et skridt tilbage og kigger på ∑ zⁿ/n², så giver 'ratio-test'-metoden |z_n+1/z_n| = |z|·n²/(n+1)². Hvordan vil du finde grænseværdien af denne og dermed konvergensradius UDEN at vide, hvad facit er? Nu har vi altså |z| i regning.

#56

Man benytter kriteriet, jeg gav i #53. Det viser, at alle tre potensrækker i bogens eksempler her har konvergensradius 1. Man finder ikke rækkens sumfunktion ved denne fremgangsmåde.

#57

Ja, men jeg vil gerne bruge det du har skrevet i #53 på #56. Jeg er interesseret i at finde grænseværdien, således jeg kan udregne konvergensradius. Hvad gør jeg forkert i #56?

#58

Du kan ikke finde grænseværdien (rækkens sumfunktion) ved disse kriterier. Fremgangsmåden i #53 benyttes til at bestemme rækkens konvergensradius. Bemærk, at i kriteriet indgår en følge dannet ud fra potensrækkens koefficienter, ikke ud fra selve potensrækkens led. z indgår ikke i kriteriet, kun koefficienterne a_n . Ud fra følgens grænseværdi bestemmer man potensrækkens konvergensradius.

#59

Beklager, jeg læste "a_n+1" som "z_n+1". Det du siger er, at R = 1/L, hvor L er forholdet mellem koefficienterne.

Koefficienten i første eksempel er så 1/n² og hvor L = |a_n+1/a_n| = n²/(n+1)², dvs. R = (n+1)²/n². Hvordan eliminerer jeg n'erne?