Matematik

Partiel integration

22. september 2014 af SolSmil (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Jeg har prøvet at løse ∫ e^x*cos(x) dx

Jeg har anvendt partiel integration. Jeg ville umiddelbart sige at løsningen er:

e^x*cos(x) + e^x*(-cos(x))

det er en fejl, men hvorfor kan dette ikke være et facit for den integral.

Brugbart svar (0)

Svar #1
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ved partiel integration har man stadig et led under integralet når processen er afsluttet:

∫ e^x·cos(x) dx = e^x·cos(x) - ∫ e^x·(cos(x))' dx

= e^x·cos(x) - ∫ e^x·(-sin(x)) dx

= e^x·cos(x) + ∫ e^x·sin(x) dx , så integrerer man igen

= e^x·cos(x) + e^x·sin(x) - ∫ e^x·(sin(x))' dx

= e^x·cos(x) + e^x·sin(x) - ∫ e^x·cos(x) dx

Isoler nu ∫ e^x·cos(x) dx .

Svar #2
22. september 2014 af SolSmil (Slettet)

#1: I mellemtiden har jeg prøvet at løse to andre integraler ved partiel integration, men mine udregninger passer igen ikke med facit.

Jeg har prøvet at løse:

1. ∫(x-1) e^x dx med grænseværdierne a= 0 og b=1 og jeg får -e^1= -1

2. ∫(x^2)*e^x dx med grænseværdierne a= -1 og b= 1 og jeg får (-e^-1)-e

Brugbart svar (1)

Svar #3
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv at vise dine mellemregninger. Jeg kan da ikke gætte mig til, hvor du laver fejl

Man differentierer polynomierne ned og integrerer eksponentialfunktionen op.

Brugbart svar (1)

Svar #4
22. september 2014 af mathon

$\int_{0}^{1}\left ( x-1 \right )\cdot e^xdx=\left [(x-1)\cdot e^{x} \right ]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}1\cdot e^{x}dx=\left [(x-1)\cdot e^{x} \right ]_{0}^{1}-\left [ e^{x} \right ]_{0}^{1}=$

$\left [ e^{x}\cdot \left ( x-2 \right ) \right ]_{0}^{1}= e^{1}\cdot \left ( 1-2 \right )-\left ( e^{0}\cdot \left ( 0-2 \right ) \right )=2-e$

Brugbart svar (0)

Svar #5
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Ved bestemte integraler taler man om grænserne, ikke grænseværdierne.

Svar #6
22. september 2014 af SolSmil (Slettet)

Jeg får også den samme løsning indtil [e^x(x-1) - e^x] men jeg har bare sat grænseværdierne anlederledes, således at jeg løste dem for hele min løsning, og ikke for hver af leddene som du har gjort. Det er sådan jeg har lært det. Så jeg sætter først mit resultat x=1 og trækker fra mit resultat med x=0.

Hvorfor er min måde forkert? Man plejer at gøre det på den måde.

Brugbart svar (1)

Svar #7
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Det er da ligegyldigt, om du samler leddene i stamfunktionen eller deler den op. Men i øvrigt er -e¹ ikke lig med -1, som du påstår i #2 (under 1.).

Brugbart svar (1)

Svar #8
22. september 2014 af mathon

$\int_{0}^{ } x^2\cdot e^xdx=x^2\cdot e^{x}-2\int e^{x}\cdot x\, dx$
hvor
$\int e^{x}\cdot x\, dx=e^{x}\cdot x-\int e^{x}\cdot 1\, dx=e^{x}\cdot x-e^{x}$

så
$\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{0}^{ } x^2\cdot e^xdx =x^2\cdot e^{x}-2\cdot \left (e^{x}\cdot x-e^{x} \right )=x^2\cdot e^{x}-2x\cdot e^{x}+2e^{x}=\left (x^2-2x+2 \right )e^{x}$

hvoraf

$\int_{-1}^{1 } x^2\cdot e^xdx=\left [ \left ( x^2-2x+2 \right )\cdot e^{x} \right ]_{-1}^{1}=$

$\left ( 1^2-2\cdot 1+2 \right )\cdot e^{1}-\left ( \left ( \left (-1 \right )^2-2\cdot \left (-1 \right )+2 \right )\cdot e^{-1} \right )=e-5e^{-1}$

Brugbart svar (1)

Svar #9
22. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Generelt har man, hvis p(x) er et polynomium af grad n, at

$\int p(x)e^{x}\, \textup{d}x=e^{x}\cdot \sum_{j=0}^{n}(-1)^{j}p^{(j)}(x)+k$

Svar #10
23. september 2014 af SolSmil (Slettet)

#1:

Men hvordan ved du at den skal integreres to gange? Jeg kunne i princippet integrere den en gang, og dermed tro at mit resultat er rigtigt, fordi jeg har fulgt formlen for partiel integration.

Så når jeg sidder og skal lave en lignende opgave, hvordan kan jeg så vide, at jeg skal integrere den to gange?

Brugbart svar (0)

Svar #11
23. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Hvis du kun integrerer én gang, ender du med et nyt ukendt integral og det er vel klart, at man så ikke er færdig. Integrerer man to gange, ender man med det søgte integral på begge sider af lighedstegnet, men på en sådan måde, at man nu kan isolere det og udtrykke det ved kendte funktioner.

I den slags opgaver er man nødt til at prøve sig frem.

Skriv et svar til: Partiel integration

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.