Differentialregning tidlig begyndelse

Hvis funktionen f er differentiabel i x_o er den også kontinuerlig i x_o. Men der gælder ikke altid, at en funktion, der i kontinuerlig x_o, er differentiabel i punktet.

Denne funktion, f(x) = |x| (den røde), er kontinuerlig for alle x men ikke differentiabel i x = 0

En funbktion er altså kun differentiabel i et punkt, hvis grafen for f kan have en tangent i punktet

Forstår ikke helt; vil det så sige, at en kontinuert funktion kan differentieres for alle punkter udover punktet x₀ ? Hvad vil det egentlig sige, at er kontinuerlig ? Elllers mange tak for dit svar, og jeg håber du vil svare på nogle af de andre spørgsmål, der ses i #0.

Forstår det bedre efter at have læst: At en funktion er differentiabel betyder også, at man kan tegne en entydigtangent i hvert eneste punkt på grafen. Det kan man ikke, hvis der er et knæk. I knækpunkter kan man tegne to tangenter, og det bliver noget rod. Kilde: http://www.webmatematik.dk/lektioner/matematik-b/differentialregning/kontinuitet-og-differentiabilitet

Så man skal dermed kun kunne (ind)tegne én tangent.

#3

Ja, det er korrekt. En anden måde at sige det lidt løst på er, at grafen for en differentiabel funktion er glat, uden knæk eller spring, som du selv er inde på. En forudsætning for, at funktionen er differentiabel i et punkt er, at den er kontinuert i punktet, dvs "hænger sammen" uden spring eller huller. Derudover skal grafen også være glat.

#4

Hej Andersen og tak for dit svar

Vil du se #0 og svare på spørgsmålene og bekræfte om det er rigtigt

Differentialkoefficienten i et punkt kan fortolkes som hældningen af tangenten for grafen for funktionen. Differentialregning beskæftiger sig med meget andet end det. Den fortolkning bruges mest når man starter på undervisning i emnet.

Grafen for en funktion for f(x) er de punkter i et koordinatsystem, som har koordinaterne (x, f(x) ). Det holder for alle x. Når man i stedet for x angiver x₀ er det for at angive at det er et bestemt punkt på grafen.

Man kan principelt kalde punkterne og de tilsvarende koordinater, hvad man vil. Når man bruger P₀ og x₀ er det blot gode vaner. Der er ingen der kommer i tvivl om hvad man mener. Hvis man bruger noget andet vil man bar spørge Hvad er det for et punkt ?

Hej Peter Lind og mange tak for dit svar

Hvad beskæftiger differentialregning sig mere med, udover hældningen af tangenten i et punkt for grafen af funktionen ?

Hvis jeg har en funktion g(x) = x³ + ln(x), er det så rigtigt jeg får g '(x) = 3x² + (1/x)

Reglerne jeg benytter f(x) = xⁿ har den afledte f '(x)  = n · x^n-1
samt f(x) = ln(x) har den afledte f '(x) = (1/x)

og hvad fortæller differentialkvotienterne så helt præcist.

Hvis et vilkårligt punkt hedder P_n er det så f(x_n) i stedet for f(x₀)

Mange tak lind jeg håber du vil svare på spørgsmålene

Beregninger af arealer og rumfang, optimering. I fysik bruges den meget tilvidt forskellige anvendelser, hastigheder, accelleration, beregning af legemers bevægelse, radioaktive henfald o.s.v.

Dine beregninger er rigtige.

Hvad differentialkoefficienter fortæller er meget afhængig af hvad man bruger det til, så det kan der ikke rigtig gives noget generl svar på.

Det sidste har jeg svaret på. Man kan kalde sine variable og punkter, hvad man vil. Man gør det i praksis, så det er nemt at forstå. Det er for eks. ikke fornuftigt at kalde et punkt P_USA, x-koordinaten for x_Kina og y koordinaten for y_Peru

Mange tak for dine svar Peter. Har lige nogle sidste spørgsmål

Hvad fortæller g '(x) = 3x² + (1/x) om funktionen g(x) , det var mere det jeg var ude efter

Jeg kan ikke finde regnereglen for log(x) ved du den

Den fortæller om monotoniforhold. Hvis f'(x) > 0 er funktionen voksende. Hvis f'(x) < 0 er funktionen aftagende. I lokale maksima og minima er f'(x) = 0

Der findes flere logaritmefunktioner. Hvis du skriver log(x) vil man normalt forst logaritmen med grundtallet 10. Så vil der gælde Log(10) = 1. Den logaritmefunktion du nævner skrives normalt ln(x). Den har et andet grundtal.

Regneregler for logaritmefunktioner ligegyldig hvilken

ln(1) =0

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

ln(a/b) = ln(a)-ln(b)

ln(aⁿ) = n*ln(a)

Tusind tak Peter lind.

Jeg tænkte mere på, hvordan jeg differentiere log(x) og ln(x)

ved nu også så at log(x) har grundtallet 10 og ln(x) har grundtallet e

#11

Se https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1533093 svar #10.