Potensrække

a_n/a_n+1  Der er et x for meget i resultatet Der findes en sætning, der siger at konvergensradius så er 1

x kommer xⁿ⁺¹ / xⁿ det skulle da gerne give x * med det sidste led med kvadrat rod

Der er da ikke noget x i a_n

Ja, så er det jeg fik fortalt til forelæsningen i går forkert.

Her gennemgik han et eksempel på en potensrække og her indeholder a_n da x

Jeg forstår det virkelig ikke det her

#4

Normalt skriver man potensrækken

Her er

Okay, både vores lærer og i vores lærerbog er x taget med. Det kan jeg så heller ikke forstå :o)

#6

For en potensrække af formen i #5, hvor alle koefficienterne a_n er ≠ 0 , ser man på talfølgen

        |a_n+1 / a_n|

Hvis talfølgen er konvergent med grænseværdi c, er potensrækkens konvergensradius r = 1/c .

men  er det korrekt ? Og så er konvergensradius = 1

Og hvis jeg skal vise af x=r er divergent og x=-r er konvergent !

for x = 1 er  og derfor divergent

for x = -1 er der tale om en alternerende række

 og derfor voksende men mindre og mindre. Og da det er en alternerende rækker vil den → 0 for n →∞ og derfor er den konvergent.

Er det nogenlunde rigtigt ?

Og tilsidst

Beregn potensrækkens sum for x = −1 med en fejl p°a højst 0.1, ved

at benytte af en endelig sum med et passende antal led.

Kan nogen give mig en forklaring på hvordan jeg gør det ?

#8

Ja, det er korrekt, at rækkens konvergensradius er ρ = 1.

For x = 1 har man 1/√(n+1) → 0 for n → ∞ . Men rækken er divergent, fordi

        |a_n| = 1/√(n+1) > 1/n

og rækken ∑ 1/n  er divergent.

For x = -1 er der tale om en alternerende række, hvis elementers absolutværdier er en dalende følge med grænseværdi 0, og rækken er derfor konvergent.

#9 nu forstår jeg bedre hvorfor den er divergent. mange tak

Kan du forklare mig mit andet problem ?

#10

Er dit andet problem det samme som lufthansas sidste problem i #8? Dvs. at finde en tilnærmet for rækkens sum for x = -1 ?

#11

Ja det er det. Jeg har virkelig brug for hjælp her :o)

Hej, Jeg sidder med samme opgave som i #0, og mit problem er også det x, som fremkommer når konvergens radius skulle bestemmes. når jeg regner med videre med x'et får jeg at konvergensradius er p= ∞ Jeg forstår ikke hvorfor I undlader x. Her er et eksempel fra den bog der bliver undervist i, og her følger x'et med. 

Et givet matematisk emne kan jo beskrives på mange måder.  xⁿ er der altid og det hele  styres af a_n kan man formulere sætningerne så det kun indeholder a_n.Det giver den bekvemme formel som er nævnt i #7. Du slipper meget nemmere over det, hvis du bruger den formel. Du skal så til gengæld have bevise at den formel.holder

Men hvordan skal ogaven løses, som i #8, uden x'et eller som i #0 med x'et ?

Jeg er i tvivl om hvorfor man bare kan se bort fra x^n ?

Det kan man fordi der findes sætningen nævnt i #7. Hvis du skal mere ind på det skal du nok ind og se beviset for sætningen. Jeg har søgt lidt på internettet, men ikke kunnet finde beviset. Jeg kan heller ikke umiddelbart henvise til en bog. Prøv at se om der er nogen henvisninger i din bog.

Jeg anvender nedstående sætning, som jeg læser det, skal a_n  være indmaden i sumtegnet og det er derfor jeg tager x' med, ligesom man har gjort det i # 13

Jeg kan ikke umiddelbart af beviset for sætningen læse at jeg kan undlade x'et ?

Måske du kan forklare det ?

Bevis:

Jeg tror du gør det mere indviklet end det er. Sætningen indeholder jo ikke xⁿ, hvorfor det heller ikke indgår i brugen af sætningen. Forudsætningen for sætninge er at der er tale om en potensrække og kun derved indgår xⁿ. Jeg vil foreslå, at du sover på det. 

#15 Når du nu har sætningen synes jeg du skal bruge den. Det er nemmere og sætninger eksisterer jo netop for at gøre arbejdet lettere