Matematik

Vektorer!

31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Jeg ville lige høre om jeg gør det her rigtigt..

Først har jeg fundet koordinatsættet til cirklens centrum.

Derefter har jeg aflæst normalvektoren fra linjen l.

Endvidere er der lavet en parameterfremstilling som jeg har sat ind i cirklens ligning og løst.

Det er hvad jeg er kommet til..

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2014-10-31 kl. 19.18.18.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvis C er cirklens centrum og r er cirklens radius, og n er en normalvektor til linien l, har man at stedvektorerne til de to røringspunkter er

OR = OC ± r·n/|n| .

Svar #2
31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet)

Så det er forkert det jeg har lavet?

Brugbart svar (0)

Svar #3
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Jeg har ingen anelse om, hvad du har lavet, ud over hvad du skriver i #0. Det fremgår ikke, hvad du har lavet parameterfremstilling for.

Svar #4
31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet)

Parameterfremstillingen har jeg sat ind i cirklens ligning og derefter løst ligningen.

Brugbart svar (0)

Svar #5
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Parameterfremstillingen for hvad?

Svar #6
31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet)

Jamen ud fra mine oplsyninger

Brugbart svar (0)

Svar #7
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Hvad er det, du har levet en parameterfremstilling for? Det er formodentlig en ret linie?

Jeg prøver blot at få dig til at forklare, hvad du har gjort.

Svar #8
31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet)

Jeg har bare kigget i en anden opgave, vi har lavet oppe på skolen, noget der minder om denne. Så tænkte jeg ,at det måske var samme fremgangsmåde..

Brugbart svar (0)

Svar #9
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Prøv at forklare, hvilken linie det er, som du har lavet parameterfremstilling for. Eller vis i detaljer, hvad du har gjort. Det er umuligt at bedømme ud fra de vage beskrivelser, du kommer med.

Svar #10
31. oktober 2014 af hejtykke2 (Slettet)

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2014-10-31 kl. 21.07.31.png

Brugbart svar (0)

Svar #11
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

#10

Ja, det er korrekt fremgangsmåde. Du har opskrevet parameterfremstillingen for linien gennem cirklens centrum vinkelret på linien l. Find så de to parameterværdier for skæringspunkterne og beregn skæringspunkternes koordinater.

Prøv derefter at benytte fremgangsmåden i #1.

Brugbart svar (0)

Svar #12
31. oktober 2014 af mathon

De to tangenter har ligningerne
$4x+4y+{\color{Red} \mathbf c_1}=0$

$4x+4y+{\color{Red} \mathbf c_2}=0$

I forhold til den ene tangent $4x+4y+{\color{Red} \mathbf c_1}=0$
ligger cirklens centrum i tangentens negative halvplan regnet efter normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}$
hvorfor dens ligning
opfylder:

$dist(t_1,C(2,4)) =\frac{4\cdot 2+4\cdot 4+{\color{Red} \mathbf c_1}}{\sqrt{4^2+4^2}}=-12$

$c_1=-24(2\sqrt{2}+1)$

Tangenten har ligningen
$t_1\! \! :\; \; 4x+4y+\left (-24(2\sqrt{2}+1) \right )$

forhold til den anden tangent $4x+4y+{\color{Red} \mathbf c_2}=0$
ligger cirklens centrum i tangentens positive halvplan regnet efter normalvektor $\overrightarrow{n}=\begin{pmatrix} 4\\4 \end{pmatrix}$
hvorfor dens ligning
opfylder:

$dist(t_1,C(2,4)) =\frac{4\cdot 2+4\cdot 4+{\color{Red} \mathbf c_2}}{\sqrt{4^2+4^2}}=12$

$c_2=24(2\sqrt{2}-1)$

Tangenten har ligningen
$t_2\! \! :\; \; 4x+4y+\left (24(2\sqrt{2}+1) \right )$

Brugbart svar (0)

Svar #13
31. oktober 2014 af Andersen11 (Slettet)

Benytter man metoden i #1, har man, at OC = [2;4] , r = 12 og n = [4;4] = 4·[1;1] .

Røringspunkterne er da de to punkter, hvis stedvektor er

OR = OC ± r·n/|n| = [2;4] ± 12·(1/√2)·[1;1] ,

dvs.

OR₁ = [2+6√2 ; 4+6√2] og OR₂ = [2-6√2 ; 4-6√2]

Brugbart svar (0)

Svar #14
31. oktober 2014 af mathon

OR = OC ± r·n/|n|

$\overrightarrow{OR}_{\color{Red} \mathbf1}=\overrightarrow{OC}-\frac{12}{4\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4 \end{pmatrix}-\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-6\sqrt{2}\\ 4-6\sqrt{2} \end{pmatrix}$

${\color{Red} \bf{R_1}}=(2-6\sqrt{2};4-6\sqrt{2})$

$\overrightarrow{OR}_{\color{Red} \mathbf 2}=\overrightarrow{OC}+\frac{12}{4\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4 \end{pmatrix}+\frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \begin{pmatrix}4\\4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2+6\sqrt{2}\\ 4+6\sqrt{2} \end{pmatrix}$

${\color{Red} \bf{R_2}}=(2+6\sqrt{2};4+6\sqrt{2})$

Brugbart svar (0)

Svar #15
01. november 2014 af mathon

Eller
                      $l\! \! :\; \; y=-x+\frac{1}{4}$
       Ved implicit differentiation af
                                                        (x-2)^2+(y-4)^2=144
                                                        $2(x-2)+2(y-4)\cdot \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$
       fås:
                                                         $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=-\frac{(x-2)}{(y-4)}={\color{Red} \bf-1}$

                                                         ${\color{Red} \bf y=x+2}$
      samt
                                                         (x-2)^2=144-(y-4)^2

(x-2)^2=144-(x-2)^2

(x-2)^2=72

$(x-2)=\pm 6\sqrt{2}$

$x=2\pm 6\sqrt{2}\; \; \; \;\wedge \; \; \; y=x+2$

dvs røringspunkterne:
${\color{Red} \bf{R_1}}=(2-6\sqrt{2};4-6\sqrt{2})$ ${\color{Red} \bf{R_2}}=(2+6\sqrt{2};4+6\sqrt{2})$

Skriv et svar til: Vektorer!

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.