Matematik

Bevis for S(n)

18. december 2014 af Mount (Slettet) - Niveau: Universitet/Videregående

Hej

Opgaven lyder:

For et positivt heltal n defineres S(n) som summen af de første n ulige kvadrattal.

Genralt:

S(n)=1^2+3^2+...+(2n-1)^2

Bevis at:

$S(n)=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$

Jeg har kontrolleret til at starte med, og udsagnet passer. Så ved jeg at man antager at n=j+1, men det giver ikke mening med hvordan min lærer har løst den, da han mangler at addere 1 med j i brøken

Vedhæftet fil: Udklip.PNG

Brugbart svar (1)

Svar #1
18. december 2014 af Soeffi

Du skal vise at

$S(n+1) = S(n)+(2(n+1)-1)^{2}$

Svar #2
18. december 2014 af Mount (Slettet)

Hvordan er du kommet frem til det`? Der står jo allerede hvad jeg skal bevise det resten er noter fra min lærer.

Brugbart svar (0)

Svar #3
18. december 2014 af Soeffi

#0
$a) \;S(n)=1^2+3^2+...+(2n-1)^2$

Bevis at:

$b)\;S(n)=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$

Du har vist formlen for n=1. Du skal kombinere a) og b) for at vise at gælder formlen for n gælder den også for n+1. Du får

$S(n+1)=1^2+3^2+...+(2n-1)^2+(2(n+1)-1)^2=S(n)+(2n+1)^{2}$

Vis nu, at det første og det sidste giver det samme.

Svar #4
18. december 2014 af Mount (Slettet)

Ja, når jeg kombinere dem får jeg:

$\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}+(2n-1)^2$

Svar #5
18. december 2014 af Mount (Slettet)

Så antager jeg at n=j+1

Brugbart svar (0)

Svar #6
18. december 2014 af Soeffi

#3
$S(n+1)=1^2+3^2+...+(2n-1)^2+(2(n+1)-1)^2=S(n)+(2n+1)^{2}$

Vis nu, at det første og det sidste giver det samme

$\frac{(n+1)(2(n+1)+1)(2(n+1)-1)}{3}=$

$\frac{(n+1)(2n+3)(2n+1)}{3}$

*********************************

$S(n)+(2n+1)^{2}=$

$\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}+(2n+1)^{2}=$

$\frac{n(2n+1)(2n-1)+3(2n+1)^{2}}{3}=$

$\frac{(n+1)(2n+3)(2n+1)}{3}$

Skriv et svar til: Bevis for S(n)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.