Matematik
En opgave om Jensens ulighed.
Hej.
Opgaven og sætningen er vedhæftet.
Jeg kunne godt tænke mig at vide hvordan man svarer på en opgave (markeret med rødt firkant), hvor jeg ønsker at forklare hvorfor sætning 16.31 kan anvendes. Jeg tænker på at sige:
Lad en afbildning f: R → R givet ved f(x) = x2. Da den er kontinuert, er den derfor målelig. Jeg kan kun se, at Xi har 2. moment som beskrevet i opgaven, og det har f(Xi) = Xi2 også, hvilket jeg ikke forstår, hvad jeg skal gøre (når sætningen har antaget, at X og f(X) skal have første moment).
Når det er forklaret, vil jeg således vise jf. denne sætning, at
(E(s))2 = f(E(s)) < E(f(s)) = E(s2) = σ2
medmindre P(Xi2 = σ2) = 1 for alle i∈{1, .., n}.
Svar #1
01. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
Xi har da også 1. moment, da det oplyses at EXi = 0 .
Svar #2
01. januar 2015 af Whut (Slettet)
#1
Siger man, at Xi, der har 2. moment, også har 1. moment?
Svar #3
01. januar 2015 af Andersen11 (Slettet)
#2
Det er oplyst, at EXi = 0 og VXi = σ2 . EXi er det 1. moment, og VXi er det 2. moment.
Svar #4
01. januar 2015 af Whut (Slettet)
#3
Jeg vil gerne være sikker på om jeg har forstået korrekt. Hvis man siger, at X har k. moment, må det betyde, at EXk er det k. moment. Da har vi for alle i∈{1, .., n}
EXi er det 1. moment
EXi2 = VXi + (EXi)2 = VXi er det 2. moment, når EXi = 0.
Er det korrekt forstået?
Svar #6
01. januar 2015 af Whut (Slettet)
Lad en afbildning f: R → R være givet ved f(x) = x2. Den er målelig pga. kontinuiteten. Bemærk, at Xi har 1. moment, og det har f(Xi) også for alle i∈{1, .., n}. Da f er strengt konveks på (0, ∞) følger det af sætning 16.31, at (E(s))2 = f(E(s)) < E(f(s)) = E(s2) = σ2, dvs. E(s) < σ medmindre P(Xi2 = σ2) = 1.
Har jeg besvaret fornuftigt?
Skriv et svar til: En opgave om Jensens ulighed.
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.