Maksimale lodrette afstand mellem to funktion (HF Matematik B, Juni 2014)

b)
       Ekstremum kræver:
                                              

Jeg vil hjertens gerne have uddybet processen. Fra hvad du tænker, når du ser opgaven til hvordan du fortolker metoden og resultaterne. Jeg kan se, at den rigtige vej var differentiering, og jeg havde selv haft en tanke omkring monotomi forhold og deres ekstemum, men kan ikke se hvorfor ekstremum kræver h'(x)=0 ?

Maksimum og minimum afgøres ved differentialregning. Differential regning benyttes jo, fordi man er interessert i en given hældning. Man er altså interesseret i hvornår funktionen går fra voksende til aftagende. Dette punkt er et maksimum og er derfor den største lodrette afstand mellem de to funktioner.

Monotonien for h(x) er bestem af fortegnsvariationen for h'(x).

      
       Når fortegnsvariationen 
       for
                 h'(x) er - 0 +  har h(x) lokalt/globalt minimum
                 h'(x) er + 0 -  har h(x) lokalt/globalt maksimum
       
       

Okay så en besvarelse kunne lyde ala følgende:

Differentiere h(x)=x-x^3 

Dvs h'(x)=1-3x^2

Indsætter 0=1-3x^2 og afgører x-værdien for den maksimale lodrette afstand

Solve(0=1-3x^2,x)

x= √3/3

Indsætter x=√3/3 i h(x)

h(√3/3)=√3/3-(√3/3)^3 = (2*√3)/9 = 0,385

Derfor er den maksimale lodrette streg mellem funktionerne bestemt til 0,385 ?

Følgelig er den maksimale, lodrette kurveafstand 

Hvis du bare skal beskrive hvordan man kommer frem til resultatet, så vil jeg stærkt fraråde dig til at lade være med at skrive Solve(...) og i stedet bruge termer fra matematik undervisningen..

Det er en skriftlig aflevering, hvor løsninger som solve er godtaget. Det bliver ikke godtaget ved mundtlig præsentation, hvor der derved skal benyttes alm. matematiske termer. 

Kan du bidrage med, hvordan du ville præsentere det? Jeg er ikke interesseret i løsningen (facit), men processen og konklusionen undervejs. Jeg har stadigvæk problemer med at "se det for mig" hvorfor det helt konkret hænger sådan sammen. Jeg har ikke tidligere fået en tilsvarende opgave, med denne type formulering, og er derfor i tvivl.

Jeg ville virkelig prissætte det, hvis du gad og give dit besyv med i hvordan du ville præsentere det og gerne med tekst, hvis det ikke er til for meget ulejlighed.

Med venlig hilsen

Daniel

#9 Forslag:

For at finde den største lodrette afstand skal man løse h'(x) = 0 med hensyn til x for 0 ≤ x ≤ 1, og vise at h(x) har maximum for dette x.

Man differentierer først h(x): h'(x) = 1 - 3x². Man løser dernæst h'(x) = 0: 1 - 3x² = 0 <=> 3x² = 1 <=> x = ±1/√3 => x = 1/√3, for 0 ≤ x ≤ 1. Endelig viser man, at h(x) har maksimum for x = 1/√3. Det følger af, at h'(x) er positiv før og negativ efter nulpunktet, hvilket kan vises ved indsættelse: h'(0) = 1 > 0, og h'(1) = -2 < 0.

Maksimumafstanden er: h(1/√3) = 1/√3 - (1/√3)³ = (1 - 1/3)/√3 = 2/(3√3) = 0,385