Matematik

Integration ved substitution UDEN hjælpemidler

01. maj 2016 af Julka2905 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej.

Jeg har nu af flere omgange forsøgt at kaste mig over denne opgave, men ender altid ved en stopklods. Derfor håber jeg på, at en herinde kan hjælpe mig med at løse opgaven.

Der er altså tale om integration ved subsitution UDEN hjælpemidler.

Opgaven er vedhæftet.

Mit bud på at løse opgaven er så:
Vi har en sammensat funktion, og på baggrund af dette kan vi se at den indre funktion er lig u = x^3 + 2x + 4.

Vi differentierer u: du/dx = 3x^2 + 2 dx

Vi kan se du/dx som en brøk, og vi kan derfor isolere dx: dx = 1/(3x^2 + 2) du

Som følger substituerer vi x'et i vores udtryk som står i opgavebeskrivelsen med u. Ligeledes indsætter vi det nye udtryk for dx.

∫(3x^2 + 2)/√u * 1/(3x^2+2) du

∫((3x^2 + 2)*1)/√(u*(3x^2+2)) du - Vi ligger her mærke til at 3x^2 + 2 går ud med hinanden i både tæller og nævner. Tilbage har vi således et udtryk som ser således ud:

∫1/√u

Og nu kan jeg så ikke komme videre. Jeg tænker at der igen er tale om en ydre og indre funktion, hvor √u er den indre og 1/x er den ydre. men differentierer den funktion så får jeg du/dx = 1/(2*√u) dx. Isolerer jeg dx får jeg: 1/(1/(2*√u)). at dividere to brøker er det samme som at gange den ene brøker med den omvendte af den anden. Reducerer vi dette får vi 2*√u.

hele løsningen til denne er 2*√x^3+2x+4. Det har jeg i princippet fundet foroven. Det jeg bare finder mærkeligt er at jeg ikke har integreret. Hvad gør jeg forkert?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2016-05-01 kl. 18.48.21.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
01. maj 2016 af mathon

Brugbart svar (0)

Svar #2
01. maj 2016 af mathon

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \mathrm{d}u=2\int \frac{1}{2\sqrt{u}}\mathrm{d}u=2\sqrt{u}+k$ som med substituerede grænser
giver

$\int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{u}} \mathrm{d}u=2\sqrt{16}-2\sqrt{4}=8-4=4$

Svar #3
01. maj 2016 af Julka2905 (Slettet)

I den øverste linje skal jeg lige forstå hvorfor du sætter 2 uden for integrationstegnet. Det plejer at være noget man gør med konstanter, men jeg kan ikke helt se hvad du gør. Er det 2-tallet fra nævneren? Integrerer man 1/x så er det jo ln(x).

Jeg skal desuden også lige forstå hvorfor den nedre grænse bliver 16 og den øvre integrationsgrænse bliver 4.

- Undskyld min uvidenhed, men jeg forstår det desværre ikke helt så godt ;) Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #4
01. maj 2016 af mathon

$\frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{2}{2\sqrt{u}}=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{u}}$ efter forlængning af brøk med 2.

Brugbart svar (0)

Svar #5
01. maj 2016 af mathon

man sætter
u=x^3+2x+4 og dermed $\mathrm{d}u=(3x^2+2)\mathrm{d}x$

$\int_{0}^{2}\frac{3x^2+2}{\sqrt{x^3+2x+4}}\, \mathrm{d}x=\int_{0}^{2}\frac{1}{\sqrt{x^3+2x+4}}\, (3x^2+2)\, \mathrm{d}x$

$\! \! \! \! \! \! \! \! \int_{4}^{16}\frac{1}{\sqrt{u}}\, \mathrm{d}u=2\cdot \int_{4}^{16}\frac{1}{2\sqrt{u}}\, \mathrm{d}u=2\cdot \left [ \sqrt{u} \right ]_{4}^{16}=2\cdot \left ( \sqrt{16} -\sqrt{4}\right )=2\cdot (4-2)=4$

Brugbart svar (0)

Svar #6
01. maj 2016 af mathon

substituerede grænser
$0\; \rightarrow \; 0^3+2\cdot 0+4=4$

$2\; \rightarrow \; 2^3+2\cdot 2+4=8+4+4=16$

Brugbart svar (0)

Svar #7
01. maj 2016 af mathon

da
$\left ( F(g(x)) \right ){\, }'=f(g(x))\cdot g{\, }'(x)$
hvoraf
$\mathbf{\color{Red} \int_{a}^{b}f(g(x))\cdot g{\, }'(x)\mathrm{d}x}=F\left ( g(b) \right )-F\left ( g(a) \right )=F(\beta )-F(\alpha)=$

$\mathbf{\color{Red} \int_{\alpha =g(a)}^{\beta =g(b)}f(u)\mathrm{d}u}$

Skriv et svar til: Integration ved substitution UDEN hjælpemidler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.