Matematik

Side 2 - Kompleks andengradsulighed

Svar #21
24. september 2016 af miesim1 (Slettet)

$z=\left\{\begin{matrix} 0\\ln(4)+i(\frac{11\pi }{6}) \\ ln(4)-i(\frac{\pi }{6}) \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #22
24. september 2016 af VandalS

Var væk fra computeren mens jeg var ved at gøre mig klar til at gå i seng.

Her er fremgangsmåden til opgaven:

Vi skal løse ligningen

$\left(2\sqrt{3}-2i-e^z \right )\left(e^z-1 \right )=0$ .

Ifølge nulreglen er dette tilfældet når enten den ene eller den anden parentes er nul, så vi løser hver for sig.

Den simple parentes giver os, at

$e^z-1=0 \Leftrightarrow e^z=1 \Leftrightarrow e^{\Re(z)} \left( \cos{\Im(z) + i \sin{\Im(z)}}\right ) = 1$ .

Da der ikke optræder en imaginær komponent på højresiden må $\sin{\Im(z)}=0$ , og da den eksponentielle skaleringsfaktor ikke kan være negativ må $\cos{\Im(z)}=1$ . Dette betyder, at $\Im(z)=p \cdot 2 \pi, p\in \mathbb{Z}$ . Desuden har vi at $e^{\Re(z)}=1 \Rightarrow \Re(z)=0$ . En familie af løsninger L_1 er derfor $z=0+2p\pi i, p\in \mathbb{Z}$ .

Den anden parentes giver os, at

$2\sqrt{3}-2i-e^z=0 \Leftrightarrow e^z=2\sqrt{3}-2i$

Løsningen af dette har vi gennemgået, og familien af løsninger L_2 er

$z=2 \ln{2} + \left( \frac{11}{6}+2p\right) \pi i, p\in \mathbb{Z}$ .

Ud af disse to familier af uendeligt mange løsninger skal vi så finde dem, der har absolutværdi mindre end $2\pi$ . Du kan hurtigt kontrollere, at de eneste løsninger, der opfylder kravet er

$z = \begin{cases} 0, p=0 \text{ i } L_1 \\ 2 \ln{2}+\frac{11\pi}{6}i, p=0 \text{ i } L_2 \\ 2 \ln{2}-\frac{\pi}{6}i, p=-1 \text{ i } L_2 \end{cases}$ ;

Dette er det endelige svar på opgaven.

Brugbart svar (0)

Svar #23
24. september 2016 af VandalS

#21
$z=\left\{\begin{matrix} 0\\ln(4)+i(\frac{11\pi }{6}) \\ ln(4)-i(\frac{\pi }{6}) \end{matrix}\right.$

?

Ja, netop.

Svar #24
24. september 2016 af miesim1 (Slettet)

Tusind, tusind tak! :) Du har virkelig været til stor hjælp.

Brugbart svar (0)

Svar #25
24. september 2016 af VandalS

Det var så lidt, men nu er det vist også tid til at sove :D

Svar #26
24. september 2016 af miesim1 (Slettet)

Ja, bestemt. Jeg er selv på vej i seng. Sov godt :)

Brugbart svar (0)

Svar #27
24. september 2016 af mathon

e^z=1

z=0

$2\sqrt{3}-2i-e^z=0$

$e^z=2\sqrt{3}-2i=4e^{i\cdot \frac{11\pi }{6}}$

$z=\ln\left (4\cdot e^{i\cdot \frac{11\pi }{6}} \right )=\ln(2^2)+i\cdot \tfrac{11\pi }{6}=2\ln(2)+i\tfrac{11\pi }{6}$

dvs
$z=\left\{\begin{matrix} 0\\ 2\ln(2)+i\tfrac{11\pi }{6} \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #28
24. september 2016 af mathon

$-\frac{\pi }{6}\equiv \frac{11\pi }{6}\; modulo\; 2\pi$

Brugbart svar (0)

Svar #29
24. september 2016 af mathon

endvidere er
$\sin\left ( -\frac{\pi }{6} \right )=-\sin\left ( \frac{\pi }{6} \right )<0$ i modstrid med $4\cdot \sin(\theta )=2$
dvs $\sin(\theta )=\frac{1}{2}$

Forrige 1 2 Næste

Skriv et svar til: Kompleks andengradsulighed

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.