hvad er f(7)

#0 Jeg kan ikke bevise det, men f(x) lineær, og man har derfor, at f(x) = a·x + b.

f(f(x)) = 4x + 3 ⇒ a·(a·x + b) + b = 4x + 3 ⇒ a² = 4 ∧ 3b = 3 ⇒ a = 2  ∧ b = 1.

Det giver, at f(x) = 2x + 1. 

Jeg tænker, at hvis f(f(x)) = 4x + 3
så må f(f(0)) = 4·0 + 3 = 3 og derved er f(f(f(0))) = f(3) = 7

men hvordan det hjælper dig til at bestemme f(7) kan jeg
ikke lige gennemskue i skrivende stund, måske kan du?

Hmm, jeg forstår det ikke rigtigt :)..

f(x) = a·x + b

f(f(x)) = 4x + 3 ⇔ a·(a·x + b) + b = 4x + 3 ⇒ a² = 4 ∧ a·b + b = 3 ⇔ a = ±2 og ±2b + b = 3 ⇔ 

1) f(x) = 2x + 1 eller 2) f(x) = -2x - 3

1) f(f(f(0)))=7 ⇔ 2(f(f(0)) + 1 = 7 ⇔ 2(2(f(0)) + 1 ) + 1= 7 ⇔ 4·(1) + 2 + 1 = 7 ⇔ 7 = 7 Sandt!

2) f(f(f(0)))=7 ⇔ -2(f(f(0)) - 3 = 7 ⇔ -2(-2(f(0)) - 3 ) - 3 = 7 ⇔ -4·(-3) - 6 -3 = 7 ⇔ 3 = 7 Falsk!

Her er en lidt lettere metode f(0)  = (f_ºf)º^-1ºfº³(0) = (fºf)(7) = (7-3)/4 = 1

 da den inverse til fº²(x) er  (x-3)/4

#5 Du er inde på noget. Jeg har hele tiden regnet det for uelegant, at finde f(x) og derefter indsætte x = 7, da der kun bedes om f(7).

Man kunne vel gøre sådan:

      f(f(f(0))) = 7 ⇒ f(4·0 + 3) = 7 ⇒ f(3) = 7. Nu tager man f(x) på begge sider:

      f(f(3)) = f(7) ⇒ f(7) = 4·3 + 3 = 15

Bemærk at f(f(x)) = 4x+3. Nu er f(f(f(x))) = 4f(x) + 3. Da f(f(f(0))) = 7, har man 4f(0) + 3 = 7, dvs. f(0) = 1. Observer, at vi kan bestemme f(7) ved f(f(f(f(0)))), dvs. f(7) = f(f(f(f(0)))). For at gøre det, skal man bestemme f(0), f(f(0)), f(f(f(0))) og dermed f(f(f(f(0)))). Værdien f(0) er allerede bestemt. Resten har vi da

f(1) = f(f(0)) = 3,   f(3) = f(f(1)) = 4·1 + 3 = 7, og dermed er   f(7) = f(f(3)) = 4·3 + 3 = 15.