Matematik

Differentiation af sammensat funktion?

13. december 2016 af Lundan - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg sidder i øjeblikket og er ved at lave et matematik projekt i gymnasiet. Jeg er dog stødt ind i et »mindre« problem, jeg er igang med differentiation af en længere funktion, jeg har dog fået den kogt ned til nedenstående. Problemet er ikke at jeg ikke er klar over hvordan man differentiere som sådan, men hvordan jeg lige skal gå til den? Jeg kan se det er en sammensat funktion? men med to led som indre funktion i først del? Det er jeg ikke sikker på hvordan jeg griber an og håber der er en her der kan kaste noget lys over det!

Funktionen: $O_a(r)=(r^4*\pi^2+9*r^-^2)^0^,^5+\pi*r^2$

Jeg går ud fra det sidste led bare kan tage med gangereglen, og sættes på til sidst, men hvordan med det først (venstre)?

På forhånd tak!

Brugbart svar (0)

Svar #1
13. december 2016 af peter lind

Der er egentlig kun en sammensat funktion indre funktion det du har inde i parentesen ydre funktion kvadratrod

Svar #2
13. december 2016 af Lundan

Okay, men hvordan ville du differentier den? Først den ydre, men hvordan ville du differentier den indre?

Brugbart svar (0)

Svar #3
13. december 2016 af AMelev

Mht. det sidste er π en konstant, så du skal bruge (k·f)' = k·f '

Det første led er en sammensat funktion, hvor den ydre funktion er ....^0.5 og den indre er det, der står i parentesen, så du skal bruge kædereglen
r → r⁴·π² + 9·r^--2 = y → y^0.5 = z
$\frac{dz}{dr}=\frac{dy}{dr}\cdot \frac{dz}{dy}$

π² og 9 er konstanter, og r⁴ og r^-2 er potenser.

Svar #4
13. december 2016 af Lundan

Yes, burde måske have skrevet indlæget lidt mere præcist (beklager), men jeg kender godt til reglerne og generel udførelse. Delen hvor jeg bliver i tvivl, er da der er to led i min indre funktion? Hvordan ville du gå til den? Bare bruge gange reglen på dem individuelt?

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. december 2016 af AMelev

Ja, du skal bruge sumreglen på de to led, og så "konstant gange"-reglen - ordet "gangereglen" benyttes normalt om (f(x)·g(x))'.

Svar #6
13. december 2016 af Lundan

Okay super.

Jeg giver det lige et forsøg så tak!

Svar #7
13. december 2016 af Lundan

Nu har jeg efterhånden kigget på det noget tid og regnet det igen og igen, jeg kan simpelthen ikke finde fejlen.. Eftter mine beregninger skal hældningen (y) være 0 hvis jeg indsætter 0,7 som mit x (r), men det giver cirka -45...

Efter jeg har differentieret den ser den således ud:

$O_a' (r)=0,5(r^4*\pi^2+9*r^-^2)^-^0^,^5*4r^3*\pi^2+r^4*2\pi+0*r^-^2+9*-2r^-^3+0*r^2+\pi*2r$

Jeg er klar over det et langt stykke.. Men jeg ville sætte meget pris på hvis der var ikke der måske kunne sætte en finger på hvad der kunne være galt...

Jeg kan se at det skal give 0 fordi at når jeg indsætter den funktion jeg skrev i mit første (det øverste) indslag i Geogebra og markere ekstrema, så finder den 2, som hedder henholdsvis x=-0,7 og x=0,7, jeg kan kun bruge den positive. Altså må hældningen til 0,7 give 0?

Brugbart svar (0)

Svar #8
14. december 2016 af AMelev

Fejlen ligger dels i, at du ikke behandler π² som en konstant og dels i en manglende parentes om den indres funktions afledede. Tjek med dit CAS-værktøj..
$O_a' (r)=0,5(r^4\cdot \pi^2+9\cdot r^{-2})^{-0.5}\cdot {\color{Red}\textup{\textbf{} (}}4r^3\cdot \pi^2+ 9\cdot (-2)r^{-3}\textbf{{\color{Red} )}}+\pi\cdot 2r$
Desuden gør du livet besværligt for dig selv ved at benytte gangereglen for funktioner i stedet for "konstant-gange"reglen (k·f)' = k·f '.

Svar #9
14. december 2016 af Lundan

Mange tak for svaret, jeg har dog i løbet af idag fået dette opklaret, ved at snakke med min lærer. Jeg har nu sat det hele lig med 0, og skal have kogt det ned til en andengrads ligning, og har følgende:

$O_a^' (r)=(0,5r^4*0,5\pi^2+2,25r^-^2)^-^0^,^5*(4r^3*\pi^2-18^-^3)$

Min umiddelbare tanke er jeg meget gange vil have fjernet eksponenten fra den første parantes, og ville gøre det ved at lavet det om til til anden rod, og så lade de ting der kan gå ud med roden, gøre det? Men noget siger mig jeg ikke må gøre det sådan? Eller kan jeg bare gange parantesens eksponent ind på samtlige af ledenes eksponenter?

Brugbart svar (0)

Svar #10
14. december 2016 af peter lind

Du har glemt de 2πr Du skal i første omgang isolere ledet med potensen -0,5 Derfter kvadrerer du resultatet. NB du kan indføre falske læsninger, så du er nød til at gøre prøve bagefter

Brug et CAS værktøj hvis det er tilladt

Svar #11
14. december 2016 af Lundan

Jeg har lavet 3-4 mellemregninger før det jeg har indsent her, de 2 $\pi$ r skulle være med, det ender faktisk med at forsvinde. Hvordan ville du isolere det? Jeg er vel nød til at dividere det over på den anden sige af lighedstegnet? Hvilket ville resultere i den reciproke værdi af ledet, hvis jeg har forstået det rigtigt?

Jeg er ikke med på hvad du mener med at indføre falske læsninger?

Brugbart svar (0)

Svar #12
14. december 2016 af peter lind

Du har en ligning, der siger noget i retning af a^-½*b+c = 0 Flytter du c over på den anden side får du a^-½*b = -c. Opløfter du det i anden potens får du a^-1*b²= c² Der ville du også få hvis der stod +c på højre side, så du kan resikere at få nogle løsninger, der ikke holder.

Skriv et svar til: Differentiation af sammensat funktion?

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.