Gradientvektorfelt

Ja det er en af mulighederne. At V er et vektorfeldt betyder at der findes en funktion Φ således at

(∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z) = V. Du kan således integere hver af komposanterne i V, og bestemme "konstanterne" så det stemmer overens med en fælles funktion

#2
En del af det jeg ikke forstår er, at jeg jo ikke får givet en funktion. Skal jeg bare sige xy+z integreret mht. x, 1/2x^2-y-z integreret mht. y og x-y integreret mht. til z? Og så samle dem i en funktion? Jeg forstår det ikke rigtigt..

Ja men du bør tage hensyn til at her er y og z konstanter så det bliver ½x²-yx-zx +g_x(y, z), vor g_x(y,z) er en arbitrær "konstant" . Hvis du integrere y og x komponenterne får du tilsvarende en g_y(x,z) og g_z(x,y) som arbitræer "konstanter". Hvis du kombinerer disse for du bestemt de arbitræer "konstanter" på nær en rent faktisk konsrant

#4

Jeg har forstået det som, at jeg skal gøre følgende:

xy+z integreret mht. x: 1/2*x^2*y+z*x

1/2*x^2-y-z integreret mht. y: 1/2*x^2*y-1/2*y^2-z*y

x-y integreret mht. z: x*z-y*z

Herefter lægger jeg de integrerede sammen og får:

x^2*y+2*z*x-1/2*y^2-2*z*y

Men det virker forkert.

Du skal have

½x²y + zx + g_x(y,z)

½x²y -½y2-zy +g_y(x,z)

xz-yz + g_z(x,y)

½x²y er i de to første resultater. I det sidste går det g_z(x,y)

zx indgår i de de første og sidste resultat direkte. I det andet resultat indgår det indirekte i g_y(x,z)

o.s.v.

resultatet er at Φ = ½x²y+zx -½y²-yz+k opfylder betingelserne