Matematik

Finde grænseværdi

23. oktober 2023 af Markus2300 - Niveau: Universitet/Videregående

Har kigget længe på denne opgave og kan ikke få den til at give mening. Skal nemlig finde grænseværdien, når y går mod 0. Mit spørgsmål er så, hvad jeg skal bruge k til? Der står jo intet om hvad det er, udover at det er et fast og reelt tal. Skal jeg så bare indsætte 0 på y'ets plads i den øverste funktion?

Vedhæftet fil: Skærmbillede 2023-10-23 kl. 13.57.40.png

Brugbart svar (0)

Svar #1
23. oktober 2023 af peter lind

Det er også ligegyldigt hvad k er. Grænseværdien er defineret som at man kan finde en værdi, man kan komme som man ønsker, men ikke i selve punktet. Du forveksler der nok med kontinuert, som er defineret ved at grænseværdien er den samme som værdien i punktet.

Foretag en rækkeudvikling af eksponentialfunktionerne

Svar #2
23. oktober 2023 af Markus2300

Mange tak! Men for at svare b, så skal jeg vel bruge k? Jeg skal jo nærme 0 fra både højre og venstre og se om det er lig med hinanden.

Brugbart svar (0)

Svar #3
23. oktober 2023 af jl9

Brugbart svar (0)

Svar #4
23. oktober 2023 af jl9

#2 Det kan vel være at F er kontinuert for en bestemt værdi af k

Svar #5
23. oktober 2023 af Markus2300

Er svaret til a så ikke = e^-x^2-1/x^2 ? Er ret i tvivl nemlig, og det virker alt for nemt

Brugbart svar (0)

Svar #6
23. oktober 2023 af M2023

#5.Svaret er

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;-1\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Se eventuelt https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=2025322 for en lignende opgave.

Brugbart svar (0)

Svar #7
23. oktober 2023 af peter lind

hvad mener du med det ? Det udtryk har jo ikke noget med sagen at gøre.

e^^{-x^2}-e^{-x^2} = (1-x² + ...) - ( 1-y2+-....) ≈

Divider med x²+y² og derefter lader du x og y gå mod 0

Svar #8
23. oktober 2023 af Markus2300

#7

Er det henvendt til #6? det korrekte svar er vel

#6
#5.Svaret er

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;-1\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #9
23. oktober 2023 af jl9

(a)

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;k\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #10
23. oktober 2023 af jl9

#7 det er vel først i opgave (c) at man behøver kigge på x gå mod 0

Svar #11
23. oktober 2023 af Markus2300

#9
(a)

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;k\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

k=-1 hvis x=0

Vedhæftet fil:Skærmbillede 2023-10-23 kl. 19.33.11.png

Brugbart svar (0)

Svar #12
23. oktober 2023 af jl9

#9 Man kan også argumentere for at fordi y ikke er lig 0 men går mod 0, så er F(x) udefineret i x=0, givet definitionen af f

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;undefined\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Brugbart svar (0)

Svar #13
23. oktober 2023 af jl9

#11 Godt set at bruge L'Hopital! Det er forkert at sige at k=-1 hvis x=0. Funktionen f er defineret så den er lig k hvis x=0 og y=0.

Det kan omvendt være at der findes en værdi for k som gør at f er kontinuert i punktet x=0 og y=0

Brugbart svar (0)

Svar #14
23. oktober 2023 af M2023

#6. Rettelse...
$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Begrundelse:

$F(0)=\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-e^{-y^2}}{y^2}=1$

Vedhæftet fil:graf.png

Svar #15
24. oktober 2023 af Markus2300

#14
#6. Rettelse...
$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

Begrundelse:

$F(0)=\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-e^{-y^2}}{y^2}=1$

Det gælder vel at f(x,0)=-1 og at f(0,y)=1

Men hvilken skal jeg så have med i min funktion F(x), som bliver nævnt i opgavebeskrivelsen? Er det ikke f(x,0)=-1?

Brugbart svar (0)

Svar #16
24. oktober 2023 af SådanDa

Som #14 skriver er din funktion F jo givet som

$F(x)=\lim_{y\to 0} f(x,y)$ , så for x=0 har du

$F(0)=\lim_{y\to 0} f(0,y)$ .

Der er ikke noget som retfærdigør at blot indsætte y=0, og så tage grænseværdien for x gående mod 0. I så fald ville argumentet jo være noget i stil med:

$F(x)=\lim_{y\to 0} f(x,y)=f(x,0) \Rightarrow F(0)=f(0,0)=k$ . Men som sagt, det er ikke den rigtige tilgang, din funktion er defineret udfra grænseværdien når y går mod 0.

Brugbart svar (0)

Svar #17
24. oktober 2023 af M2023

#0. a)

$F(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{e^{-x^2}-1}{x^2}\;\;, \;x\neq 0 \\ \\ \;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;,\;x=0 \end{matrix}\right.$

$F(x)=\lim_{y\rightarrow 0}f(x,y)= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{e^{-x^2}-e^{-y^2}}{x^2+y^2}=\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}$

$F(0)=\lim_{y\rightarrow 0}f(0,y)= \lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-e^{-y^2}}{y^2}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-\left ( 1+\left ( -y^2 \right )+... \right )}{y^2}=1$

b) Det ses af a), at

$\lim_{x\rightarrow 0}F(x)=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-x^2}-1}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\left ( 1+\left ( -x^2 \right ) +...\right )-1}{x^2}=-1$

Dermed er

$\lim_{x\rightarrow 0}F(x)\neq F(0)$

og f er derfor ikke kontinuert. Dette fremgår også af nedenstående figur. Grænseværdien af funktionen i (0,0) afhænger af, hvordan man nærmer sig punktet.

c) Der er ikke nogen værdi af k for hvilke, at f er kontinuert.

Skriv et svar til: Finde grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.