Matematik
Grænseværdi
Givet funktionen:
Jeg skal bestemme:
For alle x i de reelle tal inkl. 0.
Jeg har først indsat y=0:
Og får derved et 0/0-udtryk, som jeg differentierer to gange jf. L'Hopitals regel:
Jeg indsætter så 0 og får:
Dermed må grænseværdien
for alle x forskellige fra 0 og -1/14 for x=0.
Jeg støder bare ind i problemer, når jeg bruger Maple til at finde grænseværdien for h gående mod (0,0). Den giver mig nemlig et interval fra -1/14 til 1/14 som svar. Ifølge min lærebog eksisterer grænseværdien pr. definition ikke, når den ikke er entydig, så hvordan skal jeg tolke sådan et svar?
Svar #1
13. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Det vil altså sige, at man skal definere H(x) som en stykkevis sammensat funktion med 0-udvidelsen svarende til -1/14?
Svar #2
13. oktober 2021 af peter lind
Problemet er at du kun viser at det kun er gyldig for y = 0. For y ≠ 0 er det ganske uproblematisk
Svar #3
13. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Men jeg skal jo bestemme en funktion af en grænseværdi, hvor y skal gå mod 0 og ikke et andet tal, og hvor x kan varieres frit? Men lader jeg så x gå mod 0 for denne nye funktion af én variabel, så får jeg en grænseværdi på -1/14. Men det gør vel ikke, at man kan lave en udvidelse af h(x,y) med h(x,y)=-1/14 for (0,0), og så er den blevet kontinuert? Og hvad menes der med, at jeg skal bestemme H(x) for 0? Det kan man jo ikke, medmindre man laver en nuludvidelse?
Svar #6
13. oktober 2021 af peter lind
Du forvirrer mig med at du sætter y = 0 derefter finder grænseværdien for x -> 0.
Du skal sætte x = 0 og derefter lade y -> 0
Dernæst skal du finde grænseværden for y -> 0 for x ≠ 0
Svar #7
13. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Jeg beklager, at jeg fik sat det lidt forvirrende op. Ok, så er jeg med. Så det svarer egentlig til at kigge på restriktionerne af h til hhv. x- og y-akserne ikke? I så fald bliver grænseværdierne hhv. 1/14 og -1/14, og så kan h(x,y) jo i hvert fald aldrig blive kontinuert, uanset hvilken c værdi man måtte vælge at udvide med. Er det korrekt forstået?
Svar #11
13. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Hmm ja, men hvorfor står det i opgaveformuleringen, at H(x) også skal bestemmes for x=0?
Svar #12
13. oktober 2021 af peter lind
Det er ikke helt rigtigt. Der står at du skal finde ud af om du kan definere funktionen i x=0 så H(x) er kontinuert
Svar #13
13. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Jeg læser det som, at jeg skal forsøge at finde et c=h(0,0), så at h(x,y) er kontinuert og ikke H(x)? Jeg forstår ikke helt, hvorfor H(x) skal bestemmes for x=0, når det ikke er muligt?
Svar #14
14. oktober 2021 af AskTheAfghan
Du er på det rette spor. Du ved, at H(x) er lig med (-1+cos(x))/(7x2) for x ≠ 0 og 1/14 ellers. Fordi H(x) → -1/14 ≠ 1/14 for x → 0 (fra begge retninger), er H ikke kontinuert i 0.
Den sidste opgave spørger så om, du kan finde et eller andet p ∈ R sådan at den modificerede funktion h defineret ved
vil være kontinuert overalt.
Svar #15
15. oktober 2021 af gavs (Slettet)
Jeg har gået det igennem igen, og får nu det her. H(x) er for x forskellig fra 0 lig med:
For x lig med 0 er funktionen ikke defineret, men undersøges grænseværdierne, så får man:
Så grænseværdierne er ens, og derfor må H(x) vel være kontinuert, selvom den godt nok ikke er defineret for x=0. Er det korrekt?
Når jeg skal afgøre, om man kan vælge et c=(0,0), så h(x,y) bliver kontinuert i hele R^2, så har jeg svaret nej, fordi at kigger man på:
Er min konklusion rigtig?
Svar #16
15. oktober 2021 af Soeffi
#15...og derfor må H(x) vel være kontinuert, selvom den godt nok ikke er defineret for x=0....
Du misforstår vist: H(x) er defineret i x = 0. Der gælder:
(cos(x)-1)/(7*x^2) er ikke defineret for x=0, men det er noget andet.
Svar #17
17. oktober 2021 af gavs (Slettet)
#16 Tak. Så giver det hele mening for mig. Men selvom H(x) er kontinuert, så er det da ikke muligt at vælge et c=(0,0), så h(x,y) bliver kontinuert, eller har jeg også misforstået det?
Skriv et svar til: Grænseværdi
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.