Matematik

Grænseværdi

13. oktober kl. 11:49 af gavs - Niveau: Universitet/Videregående

Givet funktionen:

h(x,y)=\frac{cos(x)-cos(y)}{7(x^2+y^2)}

Jeg skal bestemme:

H(x):=\lim_{y\rightarrow 0}h(x,y)

For alle x i de reelle tal inkl. 0.

Jeg har først indsat y=0:

\frac{cos(x)-1}{7x^2}

Og får derved et 0/0-udtryk, som jeg differentierer to gange jf. L'Hopitals regel:

\frac{-cos(x)}{14}

Jeg indsætter så 0 og får:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{-cos(x)}{14}=\frac{-1}{14}

Dermed må grænseværdien

H(x):=\frac{cos(x)-1}{7x^2} for alle x forskellige fra 0 og -1/14 for x=0.

Jeg støder bare ind i problemer, når jeg bruger Maple til at finde grænseværdien for h gående mod (0,0). Den giver mig nemlig et interval fra -1/14 til 1/14 som svar. Ifølge min lærebog eksisterer grænseværdien pr. definition ikke, når den ikke er entydig, så hvordan skal jeg tolke sådan et svar?


Svar #1
13. oktober kl. 12:29 af gavs

Det vil altså sige, at man skal definere H(x) som en stykkevis sammensat funktion med 0-udvidelsen svarende til -1/14?


Brugbart svar (0)

Svar #2
13. oktober kl. 15:39 af peter lind

Problemet er at du kun viser at det kun er gyldig for y = 0. For y ≠ 0 er det ganske uproblematisk


Svar #3
13. oktober kl. 15:57 af gavs

Men jeg skal jo bestemme en funktion af en grænseværdi, hvor y skal gå mod 0 og ikke et andet tal, og hvor x kan varieres frit? Men lader jeg så x gå mod 0 for denne nye funktion af én variabel, så får jeg en grænseværdi på -1/14. Men det gør vel ikke, at man kan lave en udvidelse af h(x,y) med h(x,y)=-1/14 for (0,0), og så er den blevet kontinuert? Og hvad menes der med, at jeg skal bestemme H(x) for 0? Det kan man jo ikke, medmindre man laver en nuludvidelse?


Svar #4
13. oktober kl. 16:01 af gavs

Hele opgaveteksten er her

Vedhæftet fil:Opg.png

Brugbart svar (0)

Svar #5
13. oktober kl. 16:21 af peter lind


Brugbart svar (0)

Svar #6
13. oktober kl. 16:31 af peter lind

Du forvirrer mig med at du sætter y = 0 derefter  finder grænseværdien for x -> 0.

Du skal sætte  x =  0 og derefter lade y -> 0

Dernæst skal du finde grænseværden for y -> 0 for x ≠ 0


Svar #7
13. oktober kl. 16:45 af gavs

Jeg beklager, at jeg fik sat det lidt forvirrende op. Ok, så er jeg med. Så det svarer egentlig til at kigge på restriktionerne af h til hhv. x- og y-akserne ikke? I så fald bliver grænseværdierne hhv. 1/14 og -1/14, og så kan h(x,y) jo i hvert fald aldrig blive kontinuert, uanset hvilken c værdi man måtte vælge at udvide med. Er det korrekt forstået?


Brugbart svar (0)

Svar #8
13. oktober kl. 17:06 af peter lind

For x ≠ 0 får du en grænseværdi der en funktion af x


Svar #9
13. oktober kl. 22:14 af gavs

...


Brugbart svar (0)

Svar #10
13. oktober kl. 22:16 af peter lind

Du har kun en funktion som ikke er defineret for x= 0


Svar #11
13. oktober kl. 22:22 af gavs

Hmm ja, men hvorfor står det i opgaveformuleringen, at H(x) også skal bestemmes for x=0?


Brugbart svar (0)

Svar #12
13. oktober kl. 22:49 af peter lind

Det er ikke helt rigtigt. Der står at du skal finde ud af om du kan definere funktionen i x=0 så H(x) er kontinuert


Svar #13
13. oktober kl. 23:00 af gavs

Jeg læser det som, at jeg skal forsøge at finde et c=h(0,0), så at h(x,y) er kontinuert og ikke H(x)? Jeg forstår ikke helt, hvorfor H(x) skal bestemmes for x=0, når det ikke er muligt?


Brugbart svar (0)

Svar #14
14. oktober kl. 15:22 af AskTheAfghan

Du er på det rette spor. Du ved, at H(x) er lig med (-1+cos(x))/(7x2) for x ≠ 0 og 1/14 ellers. Fordi H(x) → -1/14 ≠ 1/14 for x → 0 (fra begge retninger), er H ikke kontinuert i 0.

Den sidste opgave spørger så om, du kan finde et eller andet p ∈ R sådan at den modificerede funktion h defineret ved

h(x,y):=\begin{cases} \frac{\cos(x)-\cos(y)}{7(x^2+y^2)} & \text{ for } (x,y)\neq (0,0) \\ p & \text{ for } (x,y)=(0,0) \end{cases}

vil være kontinuert overalt.


Svar #15
15. oktober kl. 13:17 af gavs

Jeg har gået det igennem igen, og får nu det her. H(x) er for x forskellig fra 0 lig med:

H(x)=\lim_{y\rightarrow 0}h(x,y)=\frac{cos(x)-1}{7x^2}

For x lig med 0 er funktionen ikke defineret, men undersøges grænseværdierne, så får man:

\lim_{x\rightarrow 0^+}H(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-}H(x)=-1/14

Så grænseværdierne er ens, og derfor må H(x) vel være kontinuert, selvom den godt nok ikke er defineret for x=0. Er det korrekt?

Når jeg skal afgøre, om man kan vælge et c=(0,0), så h(x,y) bliver kontinuert i hele R^2, så har jeg svaret nej, fordi at kigger man på:

\lim_{y\rightarrow 0}H(0,y)=\frac{1-cos(y)}{7y^2}=1/14

Er min konklusion rigtig?


Brugbart svar (0)

Svar #16
15. oktober kl. 14:46 af Soeffi

#15...og derfor må H(x) vel være kontinuert, selvom den godt nok ikke er defineret for x=0....

Du misforstår vist: H(x) er defineret i x = 0. Der gælder:

H(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{cos(x)-1}{7x^2},x \neq 0 \qquad \qquad \qquad \quad \\ \\\lim_{x\rightarrow 0}\frac{cos(x)-1}{7x^2}= -1/14,x=0 \end{matrix}\right.

(cos(x)-1)/(7*x^2) er ikke defineret for x=0, men det er noget andet.


Svar #17
17. oktober kl. 13:27 af gavs

#16 Tak. Så giver det hele mening for mig. Men selvom H(x) er kontinuert, så er det da ikke muligt at vælge et c=(0,0), så h(x,y) bliver kontinuert, eller har jeg også misforstået det?


Brugbart svar (0)

Svar #18
17. oktober kl. 13:42 af Soeffi

#17. Så vidt jeg kan se, så er det rigtigt.


Skriv et svar til: Grænseværdi

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.