Matematik

Bestem koordinatsættet til punktet E, så arealet af scenen bliver 50 m2.

28. april 2024 af Mrfoks - Niveau: B-niveau

Hej.

jeg har fået denne opgave:

Pa° figuren ses en model af en græsplæne i en park indlagt i et koordinatsystem med enheden meter pa° begge akser. I modellen har græsplænen form som firkant ABCD. A(0, 0) B(35, 3) C(50, 14) D(0, 20)

Mellem punkterne C og D skal der opsættes et hegn.
a) Bestem længden af hegnet.
b) Bestem en parameterfremstilling for den linje, der følger hegnet.

I parken skal der bygges en trekantet scene, som i modellen har hjørnepunkterne B, C og E. Punktet E ligger pa° linjen mellem C og D (se figur).

c) Bestem koordinatsættet til punktet E, sa° arealet af scenen bliver 50 m2.

Jeg har regnet opg a og b ud, men jeg har brug for hjælp til opgave c. nogen der kan hjælpe!?

Tak på forhånd

Brugbart svar (0)

Svar #1
28. april 2024 af ringstedLC

Vedhæftet fil:_0.png

Brugbart svar (0)

Svar #2
28. april 2024 af ringstedLC

c) Punktet E er skæringen mellem CD og linjen BC parallelforskudt med afstanden h:

$\begin{align*} A_{BCE}=50 &= \tfrac{1}{2}\,h\,BC\Rightarrow h=... \end{align*}$

og med forskydningsvektoren:

$\begin{align*} \overrightarrow{F}_h &= h\cdot \vec{e}_{BC\,'}=h\cdot \binom{e_1}{e_2} \\ f:\binom{x}{y} &= \binom{x_{B\,'}}{y_{B\,'}}+t\cdot \vec{\,r}_{BC}\;,\;t\in \mathbb{R} \\ \binom{x}{y} &= \binom{x_B}{y_B}+\overrightarrow{F}_h+t\cdot \vec{r}_{BC} \end{align*}$

Bestem en parameterfremstilling (el. ligning) for CD og bestem skæringen.

Svar #3
28. april 2024 af Mrfoks

Det gav en smule mere mening, men jeg har stadig ingen ide om hvordan man løser opgaven

Brugbart svar (0)

Svar #4
28. april 2024 af AMelev

Alternativt kan du benytte determinantformlen.
Arealet af trekant ABE = 50, så |det( $\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CB}$ )| = 100.
$\overrightarrow{CE}$ er ensrettet med $\overrightarrow{CD}$ , så $\overrightarrow{CE}=k\cdot \overrightarrow{CD},\; k> 0$

Løs determinantligningen mht. k og indsæt i stedvektoren for E.

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AC}+k\cdot \overrightarrow{CD}$

Svar #5
28. april 2024 af Mrfoks

jeg er stadig forvirret. hvorfor skal jeg regne arealet af trekant ABE ud. kan du eventuelt prøve at opskrive regnestykket så jeg kan se hvad du mener

Brugbart svar (0)

Svar #6
28. april 2024 af AMelev

Det forstår jeg godt - det var mig, der skrev forkert, undskyld. Det er trekant CBE og ikke ABE.
Trekant CBE udspændes af vektorerne $\overrightarrow{CB}$ og $\overrightarrow{CE}$ . Arealet af trekanten er halvdelen af arealet af det tilsvarende parallelogram, se Formel (61) side 12.
Giver det nu mening?

Se evt. vedhæftede billede.

Vedhæftet fil:Billede.jpg

Svar #7
28. april 2024 af Mrfoks

Okay det giver bedre mening. Men så når jeg udregner determinanten af vektorerne CB og CE, så sætter jeg det =100 først, og dividere med 2 til sidst for at få trekantens areal. Skal jeg isolere k i determinanten? Er stadig ik helt med

Brugbart svar (0)

Svar #8
28. april 2024 af AMelev

Trekantsareal = 50 ⇔ determinant = 100.
Du skal bestemme determinanten (udtrykt ved k) og løse ligningen det = 100 mht. k.

Derefter bestemmer du så E.

Brugbart svar (0)

Svar #9
28. april 2024 af ringstedLC

#7 Den numeriske værdi af determinanten er arealet af det udspændte parallellogram. Det er dobbelt så stort som trekanten:

$\begin{align*} \Bigl|\textup{det}\bigl(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CE}\bigr)\Bigr| =\Bigl|\textup{det}\bigl(\overrightarrow{BC},k\cdot \overrightarrow{CD}\bigr)\Bigr| &= 2\cdot 50 \\ \overrightarrow{BC}_1\cdot k\cdot \overrightarrow{CD}_2-\overrightarrow{BC}_2\cdot \overrightarrow{CD}_1 &= 100 \\ k &= ... \\ \overrightarrow{OE}=\binom{x_E}{y_E} &= \binom{x_C}{y_C}+k\cdot \overrightarrow{CD} \\ \binom{x_E}{y_E} &= \binom{...}{...} \end{align*}$

Svar #10
28. april 2024 af Mrfoks

nu har jeg bestemt determinanten udtrykt med k, og jeg fik -5/32, og jeg ved ikke hvad jeg skal gøre her fra

Brugbart svar (0)

Svar #11
28. april 2024 af ringstedLC

Læs næstsidste linje i #9 eller sidste i #4

Brugbart svar (0)

Svar #12
28. april 2024 af AMelev

k skal være positiv, da E skal ligge på linjestykket CD. jf. #4
$|\textup{det}(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CE})|=100\Leftrightarrow \textup{det}(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CE})=\pm 100$ , løs begge og vælg den k-løsning, der er positiv.
Indsæt som angivet i #4 og #9.

Skriv et svar til: Bestem koordinatsættet til punktet E, så arealet af scenen bliver 50 m2.

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.