Matematik

Logistisk vækst

17. december 2023 af Hammodi - Niveau: A-niveau

Hej!

Jeg skal bevise egenskaber for logistisk vækst, herunder maksimal væksthastighed og funktionens opførsel når x går mod uendelig og minus uendelig.

Jeg har øvet på differentialløsningen b/a/1+c*e^-bx og jeg ved at der findes en anden formel der b/a = M, og b= M i nævneren. Er det stor forskel på disse 2 differentialløsning? Jeg ved at beviset for begge differentialignings egenskaber, er den samme, men er det bedre at bruge differentialigning med b/a eller den anden der b/a er M?

Brugbart svar (1)

Svar #1
17. december 2023 af Anders521

#0 Det ene er ikke bedre end det andet.

Brugbart svar (1)

Svar #2
17. december 2023 af jl9

Der er ingen forskel.

Som du nævner kan koefficenterne a og b i løsningen til differentiallignen samles til:

M = b/a

Men det betyder så også at b må skrives som:

b = aM

Det er den samme løsning. Nogen vil måske synes at den ene er mere simpel at kigge på end den anden.

Brugbart svar (2)

Svar #3
17. december 2023 af ringstedLC

$\begin{align*} y' &=y\,(b-a\,y)= y\,(a\,M-a\,y) &&,\;M=\tfrac{b}{a} \\ \Rightarrow y &= \frac{\frac{b}{a}}{1+c\,e^{-b\,\,x}}=\frac{M}{1+c\,e^{-a\,M\;x}} \end{align*}$

M kaldes undertiden "steady state" og er grafens asymptote: y = M. Vækstens "maks.-værdi" kan altså aflæses direkte i både diff.-ligning og funktionsforskrift, hvilket kan være praktisk.

Skriv et svar til: Logistisk vækst

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.