Logaritme- og antilogaritmetabel (Gangestykke)

Brug:

Slå værdierne op, læg dem sammen og brug så antilogtabellen på resultatet.

Eller:

Jeg kender ikke metoden, men tænker umiddelbart, at du kan benytte ab = 10^log(ab), så længe produktet er positiv. Her har du log(13.87·1.456) = log(13.87) + log(1.456). Du skal beregne højresiden af det her udtryk vha. en eller anden tabel. Lad os sige, at resultatet blev XX. Så har du 13.87·1.456 = 10^XX, og her skal du udregne højresiden, og du er færdig.

Der er forskellige logaritmetabeller. Jeg vil gætte på, at du har Erlangs firecifrede logaritmer. Det var i hvert fald den mest udbredte, inden lommeregnerne overtog.

Den måde, man bruger den på, er, at man starte med at finde ud af, hvor mange gange, man skal dividere tallet med 10, for at få det i intervallet [1;9,999]. Dette tal kaldes karakteristikken. Derefter finder man de to første cifre i tabellens venstre søjle. Øverst er der en række med et enkelt ciffer i hver søjle. Det er tallets tredie ciffer. Dermed har man en række og en søjle og man tager så tallet i denne position. Helt til højre findes 9 søjler med små tal. Man finder den søjle, der svarer til tallets fjerde ciffer. Den tabelveædi, man finder her, lægges så til det, man har i forvejen. Det tal, man er kommet frem til, kaldes mantissen. Logaritmen er så det tal man får ved at sætte karakteristikken foran et decimalkomma og mantissen efter decimalkommaet.

Man kan finde antilogaritmen ved at gå en modsatte vej. Det er lidt nemmere, at dele op i karakteristik og mantisse, slå mantissen op i antilogaritmetabellen på samme måde som før og så flytte kommaet så mange pladser, som karakteristikken angiver.

Der er andre tabeller. Jeg har f.eks. både en femcifret og en sekscifret logaritmetabel. Princippet der her det samme, men tabellerne breder sig over flere sider og der er flere cifre i søjlen længst til venstre. Det fylder så meget, at der ikke er plads til en antilogaritmetabel.

En historisk bemærkning :

Det var ikke Erlandsen, der beregnede logaritmerne. Det gjorde Napier og Briggs. Det tog efter sigende 10 år. Erlandsens bidrag er, at han trak de tabelværdier, der er med i hans tabeller, ud og han beregnede interpolationsværdierne i de sidste 9 søjler. Det er en lidt kompliceret proces at finde dem, for man har kun ét sæt værdier, for de ti tal, der står i hoveddelen af tabellen. De er i forvejen afrundede, så der er tilfælde, hvor der kan være små afvigelser fra det ideelle. Da computerne kom frem, kom der en ny udgave af tabellerne, hvor der var sket mindre korrektioner af interpolationsdelen af tabellen.

Det er velgørende, at der i året 2024 forekommer spørgsmål, som måtte høre fortiden til.
Nu venter vi efterfølgende på spørgsmålet: "Er der nogen, som ved, hvordan man løser dette gangestykke 13.87·1.456 udelukkende v.h.a. regnestok?"

De femcifrede logaritmetavler beslaglægger 180 sider i CHAMBER's MATHEMATICAL TABLES.
I vor skoletid kunne vi have sparet meget tid på ørkesløse udregninger v.h.a. tabeller over logaritmer
og logaritmer til de trigonometriske funktioner m.m., hvis nutidens kalkulatorer dengang havde været
hver mands eje.

Men med de hjælpemidler man dengang havde, forstod man derigennem logaritmernes væsen bedre
end generationerne, der blev flasket op med trykknapper. Læring består i at søge ind i det inderste væsen.
 
 

Ethvert tal  kan med videnskabelig notation
noteres:
                    

Hvor der HER er brugt  og  på lommeregner, for at vise at beregningen giver det samme
som med direkte (nutidig hjælpemiddel-) multiplikation.

#5 Man har selve stokken, hvor der er en skala, der er inddelt logaritmisk eller sagt på en anden måde. Skalaen starter med 1 og afstanden til de næste tal på skalaen er logaritmen på afstanden til hvor tallet. For eks. står tallet 2 i afstanden log(2) fra 1.

En en forskydelig stok kaldet tungen er også indelt logaritmisk. Tungen placeres så 1 på tungen står ud for a. på stokken. På stokken aflæser man nu hvad der står ud for b på tungen. Længden på stokken er nu log(a) +log(b) = log(a*b).

Man må selv rode med hvor kommaet skal stå.

se https://da.wikipedia.org/wiki/Regnestok

Der findes næppe nogen regnestok, der kan regne med så mange cifre som du angiver

#7 Der findes regler, man kan bruge til at holde styr på kommaets placering.

Man finder karakteristikken på samme måde som ved brug af tabellerne. Derefter ganger man som du angiver, hvis det er muligt, adderer karakteristikkerne og bruger det til at finde kommapladsen. Det kan dog ikke altid gøres på denne måde. Hvis mantisserne giver et produkt, der er større end 10, vil grundmetoden bevirke, at resultatet skal aflæses udenfor regnestokken, hvilket selvfølgelig ikke kan lade sig gøre. Derfor bruger man 10 i stedet for 1 til at passe med den første faktor, Det betyder så, at man får et resultat, der er 10 gange for lille. Derfor skal karakteristikken i resultatet forøges med 1.

a = 10^k·10^m

log(a) = k+m.

k er et helt tal, der opfylder k ≤ a < k+1. Det kaldes karakteristikken.

m er et reelt tal, der opfylder 0,1 ≤ m < 1. Det kaldes mantissen.

Hvis man ganger 3 med 4, får man 12, hvilket er større end 10. Det bevirker, at summen af mantisserne bliver større end 1,  så ved additionen sker der menteoverførsel fra mantisse til karakteristik:

log(3·4) = log(3)+log(4) = 0 + 0,4771 + 0 + 0,6021 = 1,0792 = 1 + 0,0792 = log(10 · 1,2) = log(12)

Jeg har faktisk en regnestok. Hvis der er et produkt der overstiger 10 som for eks. dit eksempel med 3*4 bruger man bare en skala med 2 dekader. Så kan den ikke overskride nogen grænser

I eksemplet 3·4 stilles C10 (tungen) ud for D3 (stokken), hvor produktet aflæses på D ud for C4.
Tungens 1'tal eller 10'tal er "ligeglad", hvis man kan sige det sådan.
Jeg har ikke set en regnestok med mere end én dekade, hvilket jo skulle være tilstrækkeligt, men
er bekendt med, at nogle modeller har forlænget C og D skalaerne ud over 1' og 10'markeringerne,
som stokkens længde nu tillader det.
I øvrigt findes cirkulære stokke, eller rettere skiver, med logaritmisk inddeling svarende til én dekade
langs hele cirklens omkreds. De fleste gode regnestokke er 25 cm fra 1' til 10'markeringen.
Selv har jeg en ARISTO model med eksponentialskalaer og bevægelig sinusskala.
Den store model, vi havde til demonstrationsbrug i klassen, er 1 m.
Angående den endelige kommasætning lærte vi først at lave et overslag og derefter sætte kommaet. 
   

ARISTO regnestokken har faktisk to dekader på skalaerne A og B. De bruges til opløftning til anden potens. De kan også bruges som peter lind angiver, men det går ud over regnenøjagtigheden. Så vidt jeg ved fandtes der en regnestok med afstanden 50cm mellem 1 og 10, men jeg har aldrig set den. Derimod har jeg set en del regnestokke med længden 12,5cm mellem 1 og 10.

Regnestokken har haft særdeles stor betydning. Den var tidligere symbolet på en ingeniør. Den er bl.a. blevet brugt til designet af luftskibe og fly. En speciel version blev benyttet af piloter bl.a. til udregning af brændstofbehov. Den havde en ekstra facilitet til at regne på vindtrekanter.

#10...I øvrigt findes cirkulære stokke, eller rettere skiver, med logaritmisk inddeling...

Se eventuelt dette filmklip ca. 40 sekunder inde.

#10 og #11 C10 på tungen er bare en dekade der er spejlvendt altså starter med 10 og ender med 1. Derved opnår man længden på tallet på regnestokken er det ønskede tal -10.

Jeg tror ikke, at de to dekader bare er tænkt på til at opløfte i potensen 2 eller ½.  jeg har også sådan en spejlvendt dekade på min regnestok, men har aldrig hørt om den. De to dekader er tilføjet for dem der ikke er så gode til matematik. Det er lettere for dem at bruge de to dekader

#13: Hvorfor er der så en enkelt skala med 3 dekader?

De to skalaer med to dekader kan f.eks. bruges til at finde arealet af en cirkel med radius R. Man indstiller tungens 1 på værdien R på den normale skala. På tungens kvadratskala finder man pi. Ud for det står arealet på den faste kvadratskala.

# 13
"Den spejlvendte dekade" på tungen, CI, er reciprokskala til C.
CI må stå for "C-Invers", formoder jeg.
Der er rigtignok også tre dekader, K (kubik) skalaen, der opløfter D i tredje potens,
men den findes kun på den faste stok, og ikke som dublet som A og B.