Studieretningsprojekt/-opgave (SRP/SRO)
SPR-Fermat
er det nogle klogehoveder der kan forklare hvorfor at:
x^m+ y^m=z^m har en heltallig løsning, da er
x^m+y^m≡ z^m (mod p) hvor p er et primtal, men det omvendte ikke gælder ?
Svar #1
06. december 2012 af peter lind
At den første medfører det sidste følger direkte af almindelige regneregler for restklasser.
At det ikke går den modsatte vej. Hvis du vælger x=y=z=p vil du få 0 på begge sider. Derimod vil den første ikke holde
Svar #2
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
aahhh okay, men hvorfor ikke ? hvilke regnregler skal jeg bruge for at påvise dette? eller 'bevise' at det er ikke er tilfældet.?
Svar #3
06. december 2012 af peter lind
Du kan vælge et vilkårligt primtal og et vilkårligt naturligt tal n. så vil den første ikke holde medens den anden vil være rigtig
Svar #4
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
aahhh okay, men hvorfor ikke ? hvilke regnregler skal jeg bruge for at påvise dette? eller 'bevise' at det er ikke er tilfældet.?
Svar #5
06. december 2012 af peter lind
Et tal a ≠ 0 har p som faktor gælder at a ≡ 0 mod p. Dette gælder også for a=p så den sidste giver 0+0=0, hvilket er korrekt. I den første ligning vil vestre side bliver større end højre side, så der holder den ikke
Svar #7
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
så altså hvis vi har a=2 og b=4 , hvor tallene a,b vil det således ud:
2^3 + 4^3 ≡ 2, deraf
er a og b ikke lig med 2 ..??
Svar #8
06. december 2012 af peter lind
b starter du med at definere ti at være 4, så b er ikke 2. modulo hvad?
Svar #9
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
hvorfor vil den første ligning vil venstre side være større end højre side ?
Svar #10
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
okay vi prøver igen
a = 2 og b =4 og
2^3 + 4^3 ≡ 2 modulus 3 og...
Svar #12
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
AAAHHH! Nu forstår jeg !
Resten i (2^3 + 4^3) ≡ 0 mod 3 er den samme og dermed opfylder den 2. sætning ik ? man kan jo bruge modulær addition hvor vi pluser tallene sammen.
Men hvert for sig ses, at fx. at
4^3 = 64 og 2^3 =8 og hvis vi bruger 1.ligninen fåes at:
4^3 + 2^3 = z^3 ??
Svar #13
06. december 2012 af peter lind
Om den sætning gælder er afhængig af hvad z er. Hvis du vælger z = k*3 hvor k er et naturligt tal for eks. 1 vil der gælde zn ≡ 0 mod 3 og så vil den anden ligning holde. Der er ikke nogen værdi af k, der vil få den første ligning til at holde.
Svar #14
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
okay hvis jeg ønsker at den 2. ligningen skal holde er z= k*3 hvor k er et naturligt tal, og der vil så gælde at z^n ≡ 0 mod 3.
Men det vil ikke gælde for den første ligning da, der vil stå :
4^3 + 2^3 = k*3 hvor k er et naturligt tal og det kan ikke lade sig gøre
Svar #15
06. december 2012 af peter lind
Du vil får 43+23= (3k)3 Sådan set behøver du kun at bevise det for en værdi af k og det nemmeste er k=1
Venstre side vil give 72 højre side 27 så ligningen holder ikke for disse værdier af x, y, z medens den anden ligning holder.
Svar #16
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
TUSINDE TAK FRO HJÆLPEN!
spm. er så bare hvordan det skal skrives ind...
Svar #17
06. december 2012 af peter lind
Du skal bare angive de valgte værdier for x, y, z og n. Derefter foretager du udregningerne for de 2 formler.
Svar #18
06. december 2012 af peter09 (Slettet)
okay ! må jeg godt kontakte dig imorgen (via. besked) når jeg har skrevet svaret på spm.?
Skriv et svar til: SPR-Fermat
Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk?
Klik her for at oprette en bruger.