multiplikaotren og induktionsbevis

I opgave 1 er påstanden

Vis P(0), det vil sige vis at påstanden holder for n=0. Vis derefter at hvis P(n) gælder, da gælder P(n+1) også. Konkludér at P(n) gælder for alle n.

I opgave 2 lader du n gå mod uendelig.

Tusind tak for det hurtige svar - det var virkelig pænt af dig!

Nu spørger jeg måske dumt, men hvordan skal jeg vise påstanden er sand for n=0, skal jeg sætte 0 ind på n's plads og vise at det giver 1, og sætte n=1 og vise dette giver q? :)

#2

For at vise at P(0) er sand, skal du vise at

tak! :) 

Til opgave 2, ved du da hvordan q^0+q^1+q^2 bliver til (1-q^2)/(1-q)? 

Hvad har det med opgave 2 at gøre?

Hvis du forsøger at vise ligheden for n=2 fås venstresiden til

og højresiden

At

∑ⁿ_i=0 qⁱ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1-q)

gælder kan også ses ved direkte multiplikation, idet der for n > 0 gælder

(1-q) · ∑ⁿ_i=0 qⁱ = ∑ⁿ_i=0 qⁱ - q·∑ⁿ_i=0 qⁱ = ∑ⁿ_i=0 qⁱ - ∑ⁿ⁺¹_i=1 qⁱ = q⁰ - qⁿ⁺¹ = 1 - qⁿ⁺¹

Det er netop n=2 jeg forsøger. Men jeg har fået at vide den kan forkortes yderligere, sådanne at q^0+q^1+q^2 bliver til (1-q^2)/(1-q). Hvis man skriver disse to lig hinanden i TI-interactive siger den også at det er sandt, men spørgsmålet er hvorfor det er sandt :)

Og Andersen11 tak for svaret jeg vil lige kigge på det!

#7

q⁰ + q¹ + q² = 1 + q + q²

(1 + q + q²)·(1-q) = 1 + q + q² -q -q² -q³ = 1 - q³ ,

hvorfor

1 + q + q² = (1 - q³) / (1 - q)

Nu spørger jeg måske dumt, men hvorfor må du gange med (1*q) er det fordi det viser sig at være smart at gange det ind i venstresiden og det du så har trukket fra på højresiden er det der er i overskud når man gør det? :)

#9

Det er vanskeligt at forstå det du skriver.

Der gælder   a = b/c ⇔ b = a·c .

Man udregner produktet (1 + q + q²)·(1-q) simpelthen ved at gange hvert led i den ene størrelse med hvert led i den anden.

(1 + q + q²)·(1-q) = 1·(1 + q + q²) - q·(1 + q + q²) = (1 + q + q²) - (q + q² + q³) = 1 - q³

Det forstår jeg godt og undskyld jeg skrev det lidt kringlet :) 

Det jeg ikke helt er med på, er hvor du for parentesen (1-q) fra, der hvor du skriver (1 + q + q2)·(1-q), da vi skal finde ud af hvorfor q^0+q^1+q^2 kan blive til (1-q^2)/(1-q). Da har vi jo kun q^0+q^1+q^2, så hvor kommer parentesen (1-q) fra?  :)

#11

Læs hvad jeg skrev i #10

Der gælder   a = b/c ⇔ b = a·c

At vise, at 1 + q + q² er lig med (1-q³)/(1-q) er jo ensgyldigt med at vise, at

(1 + q + q²)·(1-q) er lig med 1 - q³ .

Det forstår jeg godt. problemet er, at jeg ikke må bruge at jeg ved det skal give (1-q3)/(1-q), men at det bare er noget jeg skal nå frem til, vha. opgave 2 som jeg har vedhæftet i starten :) 

#13

Man må da altid kunne benyttte divisionsprøven. Man efterviser, at b/c er lig med a, netop ved at vise, at b er lig med a·c .

Man skal vise, at

∑ⁿ_i=0 qⁱ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1-q)

og det kan man gøre enten direkte ved at benytte divisionsprøven, som jeg viste i #6, eller også kan man vise formlen ved induktion efter n. Man skal så vise

p(n): ∑ⁿ_i=0 qⁱ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1-q)

ved at vise, at p(n) er opfyldt for et vist n₀ , og dernæst vise, at p(n) ⇒ p(n+1) . I stedet for at starte med n₀ = 2, giver det da mere mening at starte med n₀ = 1. Her får man

p(1): venstre side: ∑¹_i=0 qⁱ = q⁰ + q¹ = 1+q

p(1): højre side: (1 - q²)/(1-q) = (1+q)(1-q)/(1-q) = 1+q .

Hermed er p(1) vist.

Vi antager så p(n), dvs vi antager, at  ∑ⁿ_i=0 qⁱ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1-q) . Vi får nu

∑ⁿ⁺¹_i=0 qⁱ = ( ∑ⁿ_i=0 qⁱ ) + qⁿ⁺¹ = (1 - qⁿ⁺¹) / (1-q) + qⁿ⁺¹ = (1 - qⁿ⁺¹ +qⁿ⁺¹ - qⁿ⁺²) / (1-q) = (1 - qⁿ⁺²) / (1-q)

og hermed følger p(n+1).