Den aksiomatisk-deduktive metode

Et aksiom kan sammenlignes med en konvention

eller en præmis (forudsætning), dvs. med noget givet,

som der m.a.o. er almindelig enighed om, og som

derfor (tilsyneladende) ikke kræver noget forudgående

bevis eller nogen nærmere uddybning/forklaring.

#0

Som et konkret eksempel på aksiomer kan man nævne de 5 aksiomer i Euklids Elementer, der ligger til grund for den klassiske geometri, se http://da.wikipedia.org/wiki/Euklids_postulater . Her har specielt det 5. postulat, parallelaksiomet haft stor betydning for udviklingen af geometrien:

5. Hvis et linjestykke skærer to rette linjer, så de danner to indre vinkler på hver side, som tilsammen er mindre end to rette vinkler, så vil de to linjer, hvis de forlænges uendeligt, mødes på den side, hvor de to vinkler er mindre end to rette vinkler.

Man kan vise, at parallelaksiomet ikke kan bevises ud fra de øvrige aksiomer i den klassiske geometri, og ved at give afkald på parallelaksiomet, eller ved at formulere en ændret version af aksiomet, kan man opstille geometrier, der har helt anderledes egenskaber end dem, vi kender fra den sædvanlige plangeometri.

En version af parallelaksiomet, som er ækvivalent med formuleringen ovenfor er denne:
Lad der være givet en ret linie L og et punkt P, der ikke ligger på linien. Der findes netop én ret linie, der går gennem punktet P og som er parallel med linien L.

Hvis man i stedet formulerer aksiomet således, at enhver linie gennem P skærer linien L, opbygger man det, der kaldes elliptisk geometri, og som kan illustreres som geometrien for figurer på en kugleflade. Rette linier svarer til storcirkler på kuglen, og vinkelsummen i en trekant vil være større end 180º.

Hvis man i stedet formulerer aksiomet således, at der kan findes mange forskellige linier gennem P, der alle er parallelle med den givne linie L, opbygger man det, der kalder hyperbolsk geometri. Her er vinkelsummen i en trekant mindre end 180º.