Matematik

opg. 2 htx 2014

26. juli 2014 af Nina1908 (Slettet) - Niveau: A-niveau

f(x) = 6 - ( -x² + 8x + 9 )^1/2
Hvordan integrerer man dette?

altså ∫ f( x ) =

Brugbart svar (0)

Svar #1
26. juli 2014 af peter lind

-x²+8x+9 = -(x-4)² +16+9 = 25-(x-4)² = 25( 1-(x/5-4/5)² )

brug substitutionen sin(t) = (x/5-4/5) <=> x= 4+5sin(t) dx= 5 cos(t)dt på det

Brugbart svar (0)

Svar #2
27. juli 2014 af mathon

$\int 6-\left ( -x^2+8x+9 \right )^{\frac{1}{2}}dx$

$\int \left (6-\sqrt{25-\left ( x-4 \right )^2} \right )dx$

${\color{Red} \int 6xdx-5\int \sqrt{1-\left (\frac{x-4}{5} \right )^2}dx}$

hvor i

$\int \sqrt{1-\left ( \frac{x-4}{5} \right )^2}dx$ substitueres

$\frac{x-4}{5}=\sin(t)$ og dermed

$x=5\sin(t)+4$ og $dx=5\cos(t)dt$

hvoraf
$\int \sqrt{1-\left ( \frac{x-4}{5} \right )^2}dx=\int \sqrt{1-\sin^2(t)}\cos(t)dt=\frac{1}{2}\int 2\cos^2(t)dt$

$\frac{1}{2}\int \left (1+\cos(2t) \right )dt+k$

$\frac{1}{2}\left (t+\frac{1}{2} \sin(2t)\right )+k$

$\frac{1}{2}\left (t+\sin(t)\sqrt{1-\sin^2(t)} \right )+k$

hvorfor
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \int 6xdx-5\int \sqrt{1-\left (\frac{x-4}{5} \right )^2}dx}=3x^2-\frac{5}{2}\cdot\left (\sin^{-1}\left ( \frac{x-4}{5} \right )+\frac{x-4}{5}\cdot \sqrt{1-\left (\frac{x-4}{5} \right )^2} \right )+k$

Brugbart svar (0)

Svar #3
06. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

I #2 skal det være ∫ 6 dx , ikke ∫ 6x dx (flere steder), og det første led i det sidste udtryk skal være 6x, ikke 3x² .

Svar #4
06. august 2014 af Nina1908 (Slettet)

Jeg er helt enig! Andersen godt

Brugbart svar (0)

Svar #5
06. august 2014 af mathon

så
$\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! {\color{Red} \int 6dx-5\int \sqrt{1-\left (\frac{x-4}{5} \right )^2}dx}=6x-\frac{5}{2}\cdot\left (\sin^{-1}\left ( \frac{x-4}{5} \right )+\frac{x-4}{5}\cdot \sqrt{1-\left (\frac{x-4}{5} \right )^2} \right )+k$

Brugbart svar (0)

Svar #6
06. august 2014 af Andersen11 (Slettet)

Spørgsmålet i opgaven er formodentlig motiveret af Opg 2 i dette opgavesæt

http://www.uvm.dk/~/media/UVM/Filer/Udd/Gym/PDF14/Proever%20og%20eksamen/140528%20htx141-MAT-A-28052014.ashx

Man ser, at grafen for funktionen f(x) i opgaven på intervallet 0 ≤ x ≤ 8 består af en del af cirklen med ligningen

(x-4)² + (y-6)² = 5² ,

mens grafen på intervallet 8 < x ≤ 16 består af en del af cirklen med ligningen

(x-12)² + y² = 5² .

Man ser da, at arealet af det tonede område i spm. 2) består af

1) et rektangel med længden 8 og højden (bredden) 3, hvorfra der skal trækkes arealet af et cirkelafsnit med pilhøjde h = 2, kordelængde k = 2·4 og radius r = 5,

2) et rektangel med længden 4 og højden (bredden) 3, hvortil der skal lægges halvdelen af arealet af et cirkelafsnit med pilhøjde h = 2, kordelængde k = 2·4 og radius r = 5 .

Arealet af det tonede område er derfor

A = 3·(4+4+4) - (1/2)·5²/2·(2·sin^-1(4/5) - 2·(4/5)·(3/5))

= 42 - (25/2)·sin^-1(4/5)

≈ 30,4088 .

Skriv et svar til: opg. 2 htx 2014

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.