Matematik

Halveringstid

19. september 2014 af emma9765 (Slettet) - Niveau: A-niveau

Hej. Er der nogen, der ved, hvordan man løser denne opgave?

Et radioaktivt stof reduceres proportionalt med den mængde som er tilbage. Hvis 30% af sådant et stof er henfaldet efter 10 år, hvad er så halveringstiden for stoffet?

Brugbart svar (0)

Svar #1
19. september 2014 af mathon

N0-N=k*N

Brugbart svar (0)

Svar #2
19. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Man kan beskrive reduktionsprocessen ved en differentialligning

-dN/dt = k·N

hvor N(t) angiver mængden af stoffet, der er tilbage. Der er altså tale om et eksponentielt henfald.

Brugbart svar (0)

Svar #3
19. september 2014 af mathon

0,30*N0 = k*0,70*N0

Svar #4
19. september 2014 af emma9765 (Slettet)

har sagt følgende:

P(0) = 100

P(30) = 30

som har løsningen y_0e^-kt

dermed har vi: 30 = 100e^k30 <=> ln(30/100) = ln(e^k30) <=> ln(30/100) = k30 <=> k= ln(3/10)/30

t isoleres:

30 = 100e^kt <=> 30/100 = e^kt <=> ln(30/100) = ln(e^kt) <=> ln(30/100) = kt <=> t = ln(3/10)/k

k indsættes: t = ln(3/10)/(ln(3/10)/30)) = 1

dette tal virker bare urealistisk

Brugbart svar (0)

Svar #5
20. september 2014 af Andersen11 (Slettet)

Der er tale om et eksponentielt henfald

N(t) = N₀ · a^t ,

hvor man har

N(10) = N₀·a¹⁰ = 0,70·N₀ (30% forbrugt, 70% tilbage)

hvorfor

a = 0,70^1/10 .

Halveringstiden er da

T_1/2 = log(1/2) / log(a) = log(1/2) / ((1/10)·log(0,70)) ≈ 19,43 år .

Svar #6
20. september 2014 af emma9765 (Slettet)

men hvorfor er det at du sætter N(10) = N0·a^10 lig med 0,70·N0? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #7
20. september 2014 af mathon

Hvis - efter 10 år - 30% af stoffet er henfaldet, hvor mange procent er der så tilbage af stoffet?

Svar #8
20. september 2014 af emma9765 (Slettet)

ja 0,70 - det ved jeg godt. men hvorfor kan man bare sætte det lig med differentialligningen? :-)

Brugbart svar (0)

Svar #9
20. september 2014 af mathon

$-\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t}=k\cdot N$
har løsningen
$N(t)=N_0\cdot e^{-k\cdot t}$

hvor du ved
$N(10)=0,70\cdot N_0=N_0\cdot e^{-k\cdot 10}$

$0,70= e^{-k\cdot 10}$

$\ln(0,70)= -k\cdot 10$

$k=\frac{\ln(0,70)}{10}=0,035667$
dvs
$N(t)=N_0\cdot e^{-0,035667\cdot t}=N_0\cdot 0,964961^t$
hvoraf $T_{1/2}$ beregnes

$T_{1/2}=\frac{\log\left ( \frac{1}{2}\right )}{\log(0,964961)}\approx 19,43 \; \aa r$

Svar #10
20. september 2014 af emma9765 (Slettet)

hvad er det helt præcist, du gør i 3 linje? hvorfor sætter du det lig 0,70*N_0?

Brugbart svar (0)

Svar #11
20. september 2014 af mathon

#10
indsætter det du svarede i #8 nemlig 0,70·N₀ som er lig med 70% af N₀

Svar #12
20. september 2014 af emma9765 (Slettet)

ja, det indsætter du i differentialligningen, men hvorfor sætter du det lig med dens løsning? hvorfor må man gøre sådan? :-)

Skriv et svar til: Halveringstid

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.