Hvorfor bliver f(Xo+h) - f(Xo) / h = f ' (Xo) når h > 0?

Nej. Man vil omforme det, således at når  h → 0 at man ikke vil få 0 i nævneren.

Der skal parentes omkring de to led i tælleren. Differenskvotienten er

        ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h .

Både tæller og nævner nærmer sig 0 , når h går mod 0 . For simple funktioner som polynomier, vil man kunne forkorte brøken med h, hvorefter grænseværdien kan findes.

Det forstår jeg ikke. Kan du forklare det på en anden måde måske? 

#3

Hvad er det, du ikke forstår her?

Jeg er med på at både tæller og nævner nærmer sig 0. 

Men så ender man (iflg. min logik) med: 

f(Xo) - f(Xo)
----------------  
       0

Ikke sandt? 

Men du kan jo ikke dividere med 0... 

Hvad så?
 

Så har du jo teknist set 0/0, har du ikke? 

#5

Det er korrekt, at man ikke kan dividere med 0. Pointen er, at man for mange simple funktioner, som for eksempel polynomier, kan forkorte differenskvotienten med h. Herved er nævneren 1, og den vil havge en grænseværdi for h gående mod 0.

For eksempel, for funktionen f(x) = 3x + 2 , har man

        ( f(x₀+h) - f(x₀) ) / h = ( 3·(x₀+h) + 2 - (3·x₀ + 2) ) / h = (3x₀ + 3h + 2 - 3x₀ -2) / h = 3h / h = 3 .

Her kunne vi forkorte med h, og differenskvotienten har grænseværdien 3 for h gående mod 0.

Det er sjovt. Jeg forstår det så småt når der kommer tal på, men når vi kun opererer med bogstaver, har jeg svært ved at forstå logikken... 

 

Hvorfor bliver nævneren 1 fordi du forkorter differenskvotienten med h? Bliver den ikke bare "h"? Og når det h går mod 0, må den da blive 0?? 

Og for lige at være på den sikre side: når du skriver at vi forkorter differenskvotienten med h, da mener du bare, at vi skriver h i stedet for xo+h - xo i nævneren, ikke sandt? :) 
 

Jeg har bare svært ved at forstå hvorfor vi må skrive = f ' (Xo) når regnestykket i mit hoved ender med at hedde:

 f(Xo) - f(Xo)
----------------  
       0

Når vi har ladet h ---> 0 

;s

#9

I eksemplet i #7 har man brøken  

Benyt de elementære regneregler for brøker fra folkeskolen.

#10

Man skal jo netop reducere så meget som muligt og så foretage grænseovergangen. Som nævnt vil man for de elementære funktioner kunne forkorte differenskvotienten med h, hvorfor nævneren ikke længere går mod 0.

# 0
Overskriften bider sig lidt i sin egen hale.
Definitionen af  f '(x₀) er
[f (x₀ + h) - f (x₀)] / h    for h → 0
i fald, denne grænseværdi eksisterer.

# 13

Ja, den er jeg med på :)

Det jeg ikke forstår er, at f(Xo + h) - f(Xo) burde blive nul hvis h går mod 0. Så fjernes h vel fra udtrykket og tilbage står der: f(Xo) - f(Xo).

Hmmm

 

#14

Det er også korrekt, at f(x₀+h) - f(x₀) går mod 0 når h går mod 0.

Det man betragter her er kvotienten (f(x₀+h) - f(x₀)) / h . Hvis differenskvotienten har en grænseværdi, siger vi at f er differentiabel i x₀ . Ovenfor er vist, hvordan man finder denne grænseværdi for funktionen f(x) = 3x + 2 .