Mekanik Opgave 3.

Nej lydens hastighed betyder ingenting for den opgave. Du kan dog finde hastigheden ved v=s/t

ahhh

#1

Man kan regne opgaven, hvor man tager hensyn til lydens endelige hastighed, og derved kan man bedre vurdere, om lydens hastighed betyder "ingenting".

Hvis vi kalder brøndens dybde for s, lydhastigheden for v, den samlede tid fra stenen bliver sluppet til det høres for t, har vi, at tiden t₁ for stenens fald til bunden er bestemt ved

        s = (1/2)·g·t₁²

og tiden for lydsignalets passage fra stenen rammer bunden til signalet høres er

        t₂ = s/v .

Den samlede tid fra stenen slippes til dens signal modtages er da

        t = t₁ + t₂ = √(2s/g) + s/v

og vi har da

        (t - s/v)² = 2s/g

eller

        s² - 2·(tv + v²/g)·s + t²·v² = 0

der er en 2.-gradsligning i s. Den relevante løsning er

        s = t·v + v²/g - (v²/g)·√(1 + 2gt/v)

Hvis vi rækkeudvikler kvadratroden, får vi

        s ≈ t·v + v²/g - (v²/g)·(1 + (1/2)·2gt/v - (1/8)·(2gt/v)² + (1/16)·(2gt/v)³)

           = (1/2)·gt² - (1/2)·g²·t³/v

           = (1/2)·gt² · (1 - gt/v)

Korrektionsfaktoren, når man tager hensyn til lydhastigheden, er altså (1 - gt/v) , og med t = 1,5 s ,
v = 340 m/s og g = 9,82 m/s² får vi

        (1 - gt/v) = 0,9567 = 1 - 0,0433

Tager man hensyn til lydhastigheden, betyder det at dybden er 4,3% mindre end hvis lydhastigheden ignoreres. med en dybde på ca 11 m er denne korrektion ca 0,48 m , altså næsten en halv meter.

Det er lidt forvirrende.. Kan du gøre det lidt enkelt.. :)

#4

Hvad forstår du ikke i forklaringen?

#0  En pige ... lader en sten falde lodret ned i brønden og måler, at der går 1,5 s, fra hun slipper stenen, til hun hører stenen ramme bunden af brønden. 
a) Beregn brøndens dybde. (Idet der ses bort fra lydens hastighed: 11,0475 m)
b) Betyder lydens hastighed noget væsentligt for resultatet? Begrund svaret .

Svar til b) (maksimum-minimum betragtning):

Man har følgende fejlkilder:
- Usikkerheden i tidsmålingen, som er 0,1s, da tiden opgives med 1 decimal.
- Forenklingen af den matematiske model ved at se bort fra lydens hastighed.  

Hvis man ser bort fra lydens forsinkelse, får man den størst mulige dybde af brønden, idet hele den målte tid er brugt på faldet. Denne dybde er som nævnt 11,0m.

Lydens hastighed er 330m/s, dvs. lyden er maksimalt (11,0m/330m/s) = 0,03s om at nå op til pigen. Dermed er stenen som minimum faldet i 1,5s-0,03s=1,47s. I løbet af denne tid vil stenen være faldet 10,6m, som er brøndens minimums dybde. Fejlen er dermed maksimalt 0,4m, som ikke er væsentlig i forhold til den minimale dybde (mindre end 5%).

Man kan også sammenligne usikkerheden på tidsmålingen (0,1s) med den maksimale forsinkelse af lyden på 0,03s. Da denne er mndre end usikkerheden på tidsmålingen, kan man konkludere, at man kan se bort fra lydens hastighed.

Lydens hastighed er 340 faktisk men jeg forstår hvad du mener