Matematik

Tangent til cirkel, uden hjælpemidler

07. februar 2016 af iamanonymous - Niveau: A-niveau

En cirkel er givet ved ligningen: x^2+y^2=25

Punktet P(x0,y0) er et vilkårligt punkt på cirkelperiferien.
Vis at ligningen for tangenten i P er:
x0*x+y0*y=25
Skal man skal bruge linjens ligning? Eller hvad skal jeg gøre :)
a(x-x0)+b(y-y0)=0

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. februar 2016 af StoreNord

Cirklen har jo centrum i (0,0), og en radius ud til P har en bestemt hældning a.

Tangenten har så hældningen -1/a. Og du kender jo et punkt,den går igennem.

Svar #2
07. februar 2016 af iamanonymous

Hmm, jeg er stadig ikke helt sikker på hvordan jeg kommer frem til: x0*x+y0*y=25. Kan du måske uddybe? :)

Brugbart svar (0)

Svar #3
08. februar 2016 af Stats

a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0

Hvor du har normalvektoren med elementerne

$\vec{n}=\binom{x_0}{y_0}$

Og et punkt P = (x₀,y₀)

Du har da:

x₀(x - x₀) + y₀(y - y₀) = 0 ⇔
x₀x - x₀² + y₀y - y₀² = 0 ⇔
x₀x + y₀y + (-x₀² - y₀²) = 0 ⇔
x₀x + y₀y = x₀² + y₀² = 25

Dermed er x₀x + y₀y = 25

- - -

Mvh Dennis Svensson

Svar #4
08. februar 2016 af iamanonymous

Tusind tak!! :-)

Brugbart svar (0)

Svar #5
08. februar 2016 af SuneChr

Lad en vilkårlig cirkel have centrum (c₁ ; c₂) .
Lad endvidere (x₀ ; y₀) være et punkt på periferien.
Tangenten i punktet (x₀ ; y₀) vil stå vinkelret på radiusvektor (x₀- c₁ ; y₀ - c₂)
En retningsvektor for tangenten er (x - x₀ ; y - y₀) , hvor (x ; y) er et vilkårligt punkt på tangenten.
De to sidstnævnte vektorer står vinkelret på hinanden, når, og kun når, deres skalære produkt er nul.
Vi har altså alt i alt til bestemmelse af cirkeltangenten i (x₀ ; y₀) :
$\binom{x-x_{0}}{y-y_{0}}\cdot \binom{x_{0}-c_{1}}{y_{0}-c_{2}}=0$
´Find nu prikproduktet af de to vektorer.

Brugbart svar (0)

Svar #6
08. februar 2016 af mathon

eller
x^2+y^2=r^2 som differentieret mht x
giver
$2x+2y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$x+y\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=0$

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{-x}{y}$

tangenten i (x_o,y_o)

$y-y_o=\frac{-x_o}{y_o}\cdot (x-x_o)$ multipliceret med y_o

$y_oy-{y_o}^2=-x_ox+{x_o}^2$

$x_ox+y_oy={x_o}^2+{y_o}^2$

x_ox+y_oy=r^2

Skriv et svar til: Tangent til cirkel, uden hjælpemidler

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.