Matematik

Talfølge og rækker, Haster

21. juni 2017 af Rossa - Niveau: Universitet/Videregående

Hej derude, jeg har ikke ret meget tid tilbage til at træne mig til eksamen.
Jeg er i gange med en gammel eksammensopgave 2016, og jeg ønsker mig at forstå opgaven.
Opgaven lyder:

Lad { $\{ d_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ være en talfølge som konvergerer mod nul.
. Lad $\{ d_n^* \}_{n \in \mathbb{N}}$ være talfølgen givet ved $d_n^* = \max\{d_n, 0 \}$ dvs defineret ved at sætte alle negative led af $\{ d_n \}_{n \in \mathbb{N}}$     til nul.

Vis at { $\{ d_n^* \}_{n \in \mathbb{N}}$ konvergerer mod nul og giv et eksempel hvor
$\sum_{n \in \mathbb{N}} d_n$      er konvergent, men $\sum_{n \in \mathbb{N}} d_n^*$ er divergent.

Det jeg tænker er:
$d_n = \frac{(-1)^k}{k^2}$ og $d_n^* = \frac{(\cos(\frac{k \ \pi}{2}))^2}{k}$

Hvor $d_n^* \to 0$ og $d_n \to \ 0$ mens $n \to \infty$ .

$\sum_{n \in \mathbb{N}} d_n$ konvergerer, mens $\sum_{n \in \mathbb{N}} d_n^*$ er divergent.
Jeg håber, at nogen derude vil hjælpe med denne opgave.

Jeg ser frem til at høre fra jer
På forhånd tak

Brugbart svar (0)

Svar #1
21. juni 2017 af Soeffi

#0. Se evt. https://www.studieportalen.dk/forums/thread.aspx?id=1763219.

Svar #2
21. juni 2017 af Rossa

Tak Soeff, men det opgave er lidt forvirrende, det kræver, at den en række skal konvergere, og den ene skal ikke

Brugbart svar (0)

Svar #3
21. juni 2017 af peter lind

Der står ikke i den sidste opgave at den skal konveregere mod 0, kun at den er konvergent.

Jeg vil foreslå a_n = (-1)ⁿ/n

Svar #4
21. juni 2017 af Rossa

Tænker du, at
$\sum_{n=1}^{\infty} d_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} < \infty$ på grund, at d_n er en alternerende række, men hvad er d_n^* , hvor rækken ikke konvergerer?
Jeg foreslår $d_n^*= \frac{(\cos(\frac{n}{2} \ \pi))^2}{n}$ , hvad med det?

Brugbart svar (0)

Svar #5
21. juni 2017 af fosfor

#4 Du skal altså ikke vælge d^*_n . Kun d_n og da er $d_n^* = \max(0,d_n)$

Med d_n=(-1)^n/n er ∑d_n konvergent, da leddene går mod 0 og alternerer. Samtidigt er ∑ d_n^* divergent, da leddene skifter mellem 1/n og 0

Brugbart svar (0)

Svar #6
21. juni 2017 af peter lind

#0 og #4

Jeg forstår ikke hvorfor du blander cosinus ind i dette.

Den forslåede række

d -1/1 + 1/2 -1/3+1/4 - ...

d* 0 + 1/2 + 0 +1/4 ... = ½(1/2+1/3 +1/4 ...

Svar #7
21. juni 2017 af Rossa

Fordi den giver 0 mens n er ulige og 1 når n er lige

Brugbart svar (0)

Svar #8
22. juni 2017 af AskTheAfghan

Du kan ændre på rækkefølgen af leddene i {d*_n}, og udvælge (mindst) en hale af følgen, kald det {c_n}, som ikke indeholder nuller samt at den er delfølgen af {d_n}. Eftersom {d_n} er konvergent med 0, må delfølgen {c_n} være konvergent med 0. Men {c_n} er halen af {d*_n}, så må {d*_n} være konvergent med 0.

Du kan tage d_n = (-1)ⁿ/n. Da vil Σ_n≥1 d_n konvergere og Σ_n≥1 d*_n = (1/2) Σ_n≥1 1/n divergere.

Skriv et svar til: Talfølge og rækker, Haster

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.