Skal bruge hjælp :/ Komplekse tal - Matematik

Brugbart svar (0)

Svar #1
09. maj 2018 af AMelev

Brug løsningsformlen.

Hvis d er negativ, kan du skrive √d som i·√(-d).

Tjek med dit CAS-værktøj.

Brugbart svar (1)

Svar #2
09. maj 2018 af mathon

$\small 3z^2-3z+5=0$

$\small \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! z=\frac{3\mp \sqrt{3^2-4\cdot 3\cdot 5}}{2\cdot 3}=\frac{3\mp \sqrt{-51}}{2\cdot 3}=\frac{3\mp \sqrt{(-1)\cdot 51}}{6}=\frac{3\mp i\cdot \sqrt{51}}{6}=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{51}}{6}\\ \frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{51}}{6} \end{matrix}\right.$

Svar #3
09. maj 2018 af suzukirace

Et anden spørgsmål..

Hvis jeg skal løse ligningen Z^3=-i i hånden hvordan gøres dette så?

Syntes ikke jeg kan finde frem til noget

mvh. thomas

Brugbart svar (0)

Svar #4
09. maj 2018 af AMelev

Det letteste er nok at benytte, at |zⁿ| = |z|ⁿ og arg(zn) = n·arg(z)

| -i | = 1 og arg(-i) = 270º

Brugbart svar (0)

Svar #5
09. maj 2018 af janhaa

$z^3=-i=-e^{\pi i/2+2k\pi i},\,\,\,k \in\mathbb{Z}\\ \\ z=-e^{\pi i/6+(2k\pi i/3)},\,\,\,k \in\mathbb{Z}\\$

løsningene for k = 0,1,2

Svar #6
09. maj 2018 af suzukirace

hvordan finder du frem til k=0,1,2 i hånden?

Svar #7
09. maj 2018 af suzukirace

eller skal værdierne indsættes på k plads?

Brugbart svar (0)

Svar #8
09. maj 2018 af janhaa

#7
eller skal værdierne indsættes på k plads?

jepp

Brugbart svar (1)

Svar #9
09. maj 2018 af AMelev

Metoden i #4 (hvis I har arbejdet med frenstillingen z = |z|·(cos(v) + i·sin(v), hvor v = arg(z))

|z|³ = 1 ⇔ |z| = 1
$arg(z^3) = 3\cdot arg(z) \Leftrightarrow 3\cdot arg(z)=arg(-i)= \frac{3\pi }{2}+2k\cdot \pi\Leftrightarrow arg(z)= \frac{1}{3}\cdot (\frac{3\pi }{2}+2k\cdot \pi)=\frac{\pi}{2}+k\cdot \frac{2\pi}{3}$
Når k har antaget værdierne 0, 1 og 2, får du du de samme z-værdier igen for de andre k-værdier. Du kunne i princippet lige så godt have brugt andre "tripler" af k-værierne, fx 6, 7 og 8, men 0, 1 og 2 giver argumenter i [0,2π], så de er at foretrække.

Løsninger z = |z|·(cos(v) + i·sin(v),

k = 0: z = ...
k = 1: z = ...
k = 2: z = ....

$k = 6: z = 1\cdot (cos(\frac{\pi}{2}+6\cdot \frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2}+6\cdot \frac{2\pi}{3}) )= cos(\frac{27\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{27\pi}{6}) = i$

$k = 7: z = 1· =1\cdot (cos(\frac{\pi}{2}+7\cdot \frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2}+7\cdot \frac{2\pi}{3})) = cos(\frac{31\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{31\pi}{6})= -\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot i$

$k = 8: z = 1· =1\cdot (cos(\frac{\pi}{2}+8\cdot \frac{2\pi}{3})+i\cdot sin(\frac{\pi}{2}+8\cdot \frac{2\pi}{3})) = cos(\frac{35\pi}{6})+i\cdot sin(\frac{35\pi}{6})= \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot i$

Brugbart svar (0)

Svar #10
09. maj 2018 af janhaa

$\sin(z)$

Brugbart svar (1)

Svar #11
09. maj 2018 af SådanDa

Alternative løsningsmuligheder.

Omskriv til z³-i=0 og indse at z=i løser ligningen. Bestem da ved polynomiers division at:

(z³+i)/(z-i) = z²+iz-1. Dette er en andengradsligning som kan løses ved hjælp af løsningsformlen, man får således løsningerne z=i, z=(√3-i)/2 og z=(-√3-i)/2.

En anden mulighed, skriv z=a+ib, da har du:

z³=(a+ib)³=-i, udvid parantesen, så får du:

a³+3ia²b-3ab²-ib³=-i Saml i'erne:

a³-3ab²+i(3a²b-b³) = -i.

Bemærk at da realdelen af -i er 0 og imaginærdelen er -1 har vi et ligningsystem med 2 ubekendte (bemærk at vi kun er interesseret i reelle løsninger her):

a³-3ab²=0 og 3a²b-b³=-1. Se på den første a³-3ab²=a(a²-3b²)=0, som har løsningerne a=0, a=b√3

og a=-b√3. Indsæt i anden ligning:

a=0: -b³=-1 => b=1, dvs en løsning z=a+bi = 0+1i = i

a=b√3: 3b²3b-b³=9b³-b³=8b³=-1 => b³=-1/8 => b=-1/2 , det vil sige a=-√3/2 så vi har løsningen z=-√3/2-i/2

a=-b√3: på samme måde findes løsningen z=√3/2-i/2.

Brugbart svar (0)

Svar #12
10. maj 2018 af mathon

kort:
$z^3=e^{i\left(\tfrac{3\pi }{2}+p\cdot 2\pi \right)}$

$z=\left (e^{i\left(\tfrac{3\pi }{2}+p\cdot 2\pi \right)} \right )^{\frac{1}{3}}=e^{i\left(\tfrac{3\pi }{6}+p\cdot \tfrac{2\pi}{3} \right)}\; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$ $\small \textup{som med l\o sninger i }\left [ 0;2\pi \right ]$
$\small \textup{giver: }$
$z=e^{i\left(\tfrac{3\pi }{6}+\{0,1,2\}\cdot \tfrac{2\pi}{3} \right)}\; \; \; \; p\in \mathbb{Z}$

$\small z=\left\{\begin{matrix} e^{i\left ( \frac{3\pi }{6}+0\cdot \tfrac{2\pi }{3} \right )}=i\\e^{i\left ( \frac{3\pi }{6}+1\cdot \tfrac{2\pi }{3} \right )}=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}i \\ e^{i\left ( \frac{3\pi }{6}+2\cdot \tfrac{2\pi }{3} \right )}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{1}{2}i \end{matrix}\right.$

Svar #13
10. maj 2018 af suzukirace

Takker meget for hjælpen ! :)

Brugbart svar (0)

Svar #14
10. maj 2018 af mathon

$\small \tfrac{3\pi }{6}\textup{ er ikke noteret som }\tfrac{\pi }{2}\textup{ da br\o kadditionen alligevel skal beregnes i 6.dele.}$

Brugbart svar (0)

Svar #15
10. maj 2018 af mathon

detaljer:
$\small e^{\frac{7\pi }{6}}=\cos\left ( \pi +\tfrac{\pi }{6} \right )+i\cdot \sin\left ( \pi +\tfrac{\pi }{6} \right )$

$\small \cos\left ( \pi +\tfrac{\pi }{6} \right )=\cos(\pi )\cdot \cos(\tfrac{\pi }{6})-\sin(\pi )\cdot \sin(\tfrac{\pi }{6})=-1\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=- \tfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\small \sin\left ( \pi +\tfrac{\pi }{6} \right )=\sin(\pi )\cdot \cos(\tfrac{\pi }{6})+\cos(\pi )\cdot \sin(\tfrac{\pi }{6})=-1\cdot \tfrac{1}{2}=- \tfrac{1}{2}$

...

$\small e^{\frac{11\pi }{6}}=\cos\left ( 2\pi -\tfrac{\pi }{6} \right )+i\cdot \sin\left ( 2\pi -\tfrac{\pi }{6} \right )$

$\small \cos\left ( 2\pi -\tfrac{\pi }{6} \right )=\cos(2\pi )\cdot \cos(\tfrac{\pi }{6})+\sin(2\pi )\cdot \sin(\tfrac{\pi }{6})=1\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\small \sin\left ( 2\pi -\tfrac{\pi }{6} \right )=\sin(2\pi )\cdot \cos(\tfrac{\pi }{6})-\cos(2\pi )\cdot \sin(\tfrac{\pi }{6})=-1\cdot \tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}$

Svar #16
13. maj 2018 af suzukirace

Men hvis jeg har ligningen: z^4=5+3j, kan denne så løses?

Brugbart svar (0)

Svar #17
13. maj 2018 af AMelev

j? Skulle det være i?

$z^4=5+3i\Rightarrow \left | z^4 \right |=\sqrt{25+9}= \sqrt{34}\Rightarrow \left | z \right |=\sqrt[8]{34}=34^{\frac{1}{8}}=1.55394$

$z^4=5+3i\Rightarrow \left arg(z^4)=tan^{-1}(0.6)+2p\cdot \pi=0.54042+2p\cdot \pi$
Bem. $tan(arg(z^4))=\frac{3}{5}=0.6$ Formeleditoren ville ikke acceptere brøken inde i parentesen.