Matematik

Overfladeareal af Archimedes skruen

01. december 2023 af Rumballsm - Niveau: A-niveau

Hej, jeg ville spørge om der er nogen der ved hvordan man finder overfalde arealet af helicoiden på en archimedes skrue.

Jeg er klar over det kan være lidt tricky, og der findes desuden flere forskellige helicoider, men den der er på en archimedes skrue er typen "right helicoide". Man kan læse om dem her: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2017/09/matecconf_icmme2017_06002.pdf

Dog fortæller linket ikke noget om at finde overfladearealet af en "right helicoide". DESUDEN er det vigtigt at man beregner overfladearealet af helicoiden når den sidder på en cylinder (præcis som archimedes skruen), hvilket jeg ikke rigtigt har kunne finde nogle der har gjort på nettet.

Brugbart svar (1)

Svar #1
02. december 2023 af M2023

#0. Fra Wikipedia: Hvis en helicoide med radius R roterer med en vinkel på θ om sin akse, mens den bevæger sig afstanden h langs aksen, så er dens overflade areal givet ved formeln:

$\frac{\theta}{2} \left [ R\sqrt{R^2+c^2}+c^2ln\left ( \frac{R+\sqrt{R^2+c^2}}{c} \right ) \right ]$

hvor c = h/θ. Overfladearealet af den samme helicoide, som roterer om en cylinder med radius r, må så være:

$\frac{\theta}{2} \left [ R\sqrt{R^2+c^2}+c^2ln\left ( \frac{R+\sqrt{R^2+c^2}}{c} \right ) \right ]-\frac{\theta}{2} \left [ r\sqrt{r^2+c^2}+c^2ln\left ( \frac{r+\sqrt{r^2+c^2}}{c} \right ) \right ]$

Svar #2
02. december 2023 af Rumballsm

Mange tak for dit svar. Ved du tilfældigvis også hvad regnereglen på det vedhæftede billede hedder så jeg kan finde noget på nettet om den?

Den er nemlig også brugt til at komme frem til de formler du har givet mig, og jeg skal skrive teoriafsnit af det, så ville være dejligt hvis jeg havde det ved hånden.

Tak på forhånd :)

Vedhæftet fil:integral regneregel.png

Brugbart svar (1)

Svar #3
02. december 2023 af M2023

#2. Jeg indsætter billedet:

Se evt. https://www.youtube.com/watch?v=-iJdTkc0mU8.

Brugbart svar (1)

Svar #4
05. december 2023 af M2023

#3. Prøv at se https://www.youtube.com/watch?v=BtXLwxBygV0 i stedet. Sec(x) = 1/cos(x).

Brugbart svar (1)

Svar #5
06. december 2023 af M2023

#4. Se eventuelt også https://www.youtube.com/watch?v=7pxxmSz0S8Q.

Brugbart svar (1)

Svar #6
07. december 2023 af M2023

#2. Man kan gøre følgende:

$\int \sqrt{u^2+a^2}\;du=...$

Man laver følgende substitution:

$u=a\cdot tan(t),\;du=\frac{a}{cos^2(t)}\;dt$

Det giver:

$a^2\cdot \int \sqrt{tan^2(t)+1} \cdot \frac{1}{cos^2(t)}\;dt=$

$a^2\cdot \int \sqrt{\frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}+\frac{cos^2(t)}{cos^2(t)}}\cdot \frac{1}{cos^2(t)}\;dt=$

$a^2\cdot \int \sqrt{\frac{1}{cos^2(t)}} \cdot \frac{1}{cos^2(t)}\;dt=$

$a^2\cdot \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt$

Man fortsætter med partiel integration, hvor

$f(t)=\frac{1}{cos(t)}\;og\;g(t)=\frac{1}{cos^2(t)}$

$f'(t)=\frac{tan(t)}{cos(t)}\;og\;G(t)=\int g(t)\;dt=tan(t)$

Det giver:

$a^2\cdot \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt=a^2\cdot \int \frac{1}{cos(t)} \cdot \frac{1}{cos^2(t)}\;dt=$

$a^2\cdot \left ( \frac{tan(t)}{cos(t)} - \int \frac{tan(t)}{cos(t)}\cdot tan(t)\;dt \right )=$

$a^2\cdot \left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{sin^2(t)}{cos^2(t)}\cdot \frac{1}{cos(t)}\;dt \right )=$

$a^2\cdot \left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1-cos^2(t)}{cos^2(t)}\cdot \frac{1}{cos(t)}\;dt \right )=$

$a^2\cdot \left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1}{cos^3(t)} - \frac{1}{cos(t)}\;dt \right )=$

$a^2 \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt - a^2 \int \frac{1}{cos(t)}\;dt$

Man har nu

${\color{Red} a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt}=a^2 \frac{sin(t)}{cos^2(t)} -{\color{Red} a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt} - a^2 \int \frac{1}{cos(t)}\;dt \Leftrightarrow$

${\color{Red} a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt}+{\color{Red} a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt}=a^2 \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - a^2 \int \frac{1}{cos(t)}\;dt \Leftrightarrow$

$a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt=\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1}{cos(t)}\;dt \right )=$

For at finde integralet på højre side forlænges integranten med 1/cos(x) + tan(x):

$a^2 \int \frac{1}{cos^3(t)}\;dt=\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1}{cos(t)}\cdot \frac{1/cos(t)+tan(t)}{1/cos(t)+tan(t)}\;dt \right )=$

$\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1/cos^2(t)+tan(t)/cos(t)}{1/cos(t)+tan(t)}\;dt \right )$

Man laver substitutionen:

$s=1/cos(t)+tan(t) \;og\;ds=1/cos^2(t)+tan(t)/cos(t)\;dt$

og får:

$\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - \int \frac{1}{s}\;ds \right )=\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin(t)}{cos^2(t)} - ln\left ( \left | \frac{1}{cos(t)}+tan(t) \right | \right ) \right )$

Man skal nu tilbage-substituere fra t til u. Man får:

$t=tan^{-1} \left ( \frac{u}{a} \right )$

Dette giver:

$\frac{a^2}{2}\left ( \frac{sin\left ( tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right ) \right )}{cos^2\left ( tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right ) \right )} - ln\left ( \left | \frac{1}{cos \left ( tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right ) \right )}+tan\left ( tan^{-1}\left ( \frac{u}{a} \right ) \right ) \right | \right ) \right )=$

$\frac{a^2}{2}\left ( \frac{\frac{u}{a}/\sqrt{1+\left ( \frac{u}{a} \right )^2}}{\left ( 1/\sqrt{1+\left ( \frac{u}{a} \right )^2} \right )^2} - ln\left ( \left | \sqrt{1+\left ( \frac{u}{a} \right )^2}+\frac{u}{a} \right | \right ) \right )=$

$\frac{a^2}{2}\left (\frac{u}{a} \cdot \sqrt{1+\left ( \frac{u}{a} \right )^2} - ln\left ( \left | \sqrt{1+\left ( \frac{u}{a} \right )^2}+\frac{u}{a} \right | \right ) \right )=$

$\frac{1}{2}\left (a\cdot u \cdot \sqrt{\frac{a^2}{a^2}+ \frac{u^2}{a^2} } - a^2\cdot ln\left ( \left | \sqrt{\frac{a^2}{a^2}+ \frac{u^2}{a^2}}+\frac{u}{a} \right | \right ) \right )=$

$\frac{1}{2}\left ( u \cdot \sqrt{a^2+ u^2 } - a^2\cdot ln\left (\frac{1}{a} \left | u+\sqrt{u^2+a^2} \right | \right ) \right )=$

$\frac{1}{2}\left ( u \cdot \sqrt{a^2+ u^2 } - a^2\cdot ln\left ( \left | u+\sqrt{u^2+a^2} \right | \right ) \right )-\frac{a^2}{2}\cdot ln\left ( \left | \frac{1}{a} \right | \right )=$

Til det konstante led lægges en arbitrær konstant, og man får dermed:

$\int \sqrt{u^2+a^2}\;du=\frac{1}{2}\left ( u \cdot \sqrt{a^2+ u^2 } - a^2\cdot ln\left ( \left | u+\sqrt{u^2+a^2} \right | \right ) \right )+C$

Skriv et svar til: Overfladeareal af Archimedes skruen

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.