Matematik opgave

a)

b)

Begge opgaver løses med CAS og monotonifholdene bestemmes.

Erstat x³ med u. Det giver en andengradsligning, som du løser på normal måde. Uddrag så tredieroden af de to u-værdier.

b) u=x³ er en monotont voksende funktion. Derfor vil f have ekstremum ved de x-værdier, hvor det tilsvarende andengradspolynomium har ekstremum i u.

Hej. Jeg forstår ikke helt, hvorfor du gør, som du gør. I opgave a skal jeg udregne 0, men hvad er det, du gør i b?

Jeg har fået opgave a til at være x =1, x2 = 1.5874. Kan det passe?

Ja. Det er korrekt.

Men vil du ikke angive det præcist?

Hvad mener du med præcist? 

Skal jeg afrunde det eller?

a) f(x)= x^6 - 5x^3 + 4=0

u=x³

g(u) = u² - 5u + 4

f(x) = g(x³)

g(u) = 0

Løsning:

b)

g'(u) = 2u-5=0 ⇒u=5/2

Da g(u) er et andengradspolynomium med positiv koefficient til andengradsleddet, har det et minimum, som ligger ved u=5/2.

Da u=x³ er monotont voksende, har f(x) et minimum ved

#0. Graf for funktionen.

En lille tillægsbemærkning:

Tallet 1.5874. er ikke den korrekte løsning, men en tilnærmelse. Man skal så vidt det er muligt angive den eksakte løsning med mindre, der er bedt om en afrundet løsning.

Tallet 5/2 er en eksakt værdi, mens 2,5 kan betragtes som en afrundet værdi. Godt nok runder man ikke af, når man dividerer 5 med 2, men man kan ikke bagefter se, om der menes 5/2 eksakt eller det er 2,487 eller lignende, der er afrundet.

Uden hj.-midler:

Med hj.-midler indstilles CAS til eksakte værdier.

NB Skriv beskrivende og sigende titler!

Jeg har nogenlunde forstået det, men er der ikke en lettere måde at finde de to skæringspunkter ved brug af CAS?

#14. Dette er en løsning i Geogebra:

Jeg synes nu, det er rarest at tegne den i Geogebra. Så får man straks føling med den.
Men så får man godt nok ikke så fine præcise løsninger!

TI'nspire Cas på computeren er også en fin løsning med præcise værdier.

Det er en udmærket idé at tegne funktionen, gerne i Geogebra. Så kan man også se, at der en vandret vendetangent i x=0.

#12 De tre led indeholder alle tre hele potenser af x³: x⁶ = (x³)², x³ og 1=(x³)⁰. Derfor kan det betale sig at erstatte x³ med en anden variabel, som jeg har kaldt u. Derved bliver udregningerne nemmere. Man skal så lige huske, at man skal se efter, hvilken indflydelse, det har på resultatet. Jeg glemte, at da u=x³ har en vandret vendetangent i x=0, vil f også have det. Altså:

u=p(x) = x³

g(u) = u² - 5u + 4

f(x) = g(p(x))

f '(x) = g'(p(x))p'(x) = (2p(x)-5)*3x² = (2x³-5)*3x².

Dette kan ganges ud, men det skal bruges til at finde vandrette tangenter, så det skal sættes lig med 0. Vi bruger så nulreglen, hvor den første parentes giver 2x³-5=0, der er den løsning, vi kender og som giver minimet, og den anden faktor giver 3x²=0, som har løsningen x=0. Da 3x² er ikkenegativ for alle x, er der tale om en vendetangent.