Matematik

Bestem værdierne for konstanterne i femtegradspolynomium

07. december 2023 af tdredx - Niveau: A-niveau

Hvordan ville man finde sig frem til værdierne af a b c d e og f for at funktionen er kontinuert, differentiabel og 2 gange differentiable.

Vedhæftet fil: gaffel2.PNG

Brugbart svar (0)

Svar #1
07. december 2023 af M2023

#0. Indsætter billede.

Hvis f er kontinuert så skal der gælde f₁(-2) = f₂(-2) og f₂(3) = f₃(3). Tilsvarende for f' og f''. I alt skal du få seks ligninger med seks ubekendte.

Brugbart svar (0)

Svar #2
07. december 2023 af Eksperimentalfysikeren

Differentier hvert af de tre udtryk 2 gange. For f, f' og f'' opstilles en ligning for x=-2 og en ligning for x=3 mellem de tilsvarende grene på gaffeludtrykket, f.eks. f(-2):

a(-2)⁵+b(-2)⁴+c(-2)³+d(-2)²+e(-2)+f = (-2)+2

Reducer ligningerne og løs ligningssystemet med a,b,c,d,e,f som ubekendte.

Brugbart svar (0)

Svar #3
09. december 2023 af SuneChr

(I)     - 32a +   16b    - 8c + 4d - 2e₀ + f   = 0
(II)       80a -   32b   + 12c - 4d + e₀         = 1
(III)   - 160a +   48b    - 12c + 2d                 = 0
(IV)     243a +   81b   + 27c + 9d + 3e₀ + f = e
(V)      405a + 108b + 27c + 6d + e₀         = e
(VI)     540a + 108b +  18c + 2d                 = e

Koefficienten til x i f₂ er sat til e₀ for ikke at forveksle med e i f₃

Brugbart svar (0)

Svar #4
10. december 2023 af SuneChr

Det giver:

$a=\frac{7e-30}{6250}\: \: b=\frac{2(5+e)}{625}\: \: c=\frac{100+e}{1250}$

$d=\frac{11e-180}{625}\: \: e_{0}=\frac{46e-135}{625}\: \: f=\frac{2(1485+106e)}{3125}$

Brugbart svar (0)

Svar #5
10. december 2023 af SuneChr

Man kan skrive polynomiet f₂ med ovenstående koefficienter, men hvis ikke man vil have e "med på slæb",
kan e sættes udenfor parentes ved at oprette en sum af to 5'grads polynomier:

$\frac{e}{6250}\left ( 7x^{5}+20x^{4}+... \right )+\frac{1}{6250}\left ( -30x^{5}+100x^{4}+... \right )$ eller bedre

$\frac{1}{6250}\left ( e\left ( 7x^{5}+20x^{4}+... \right ) +\left ( -30x^{5}+100x^{4}+... \right )\right )$

Brugbart svar (0)

Svar #6
11. december 2023 af SuneChr

... eller endnu bedre:
Sidste linje: Sæt 10 udenfor den anden indre parentes.

Skriv et svar til: Bestem værdierne for konstanterne i femtegradspolynomium

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.