Matematik

Differentialligninger - Opgave 308 side 244. Den fuldstændige løsning og graf, Vejen til Matematik A2, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

12. december 2023 af ca10 - Niveau: A-niveau

Opgave 308

Bestem for hver af nedenstående differentilalligninger først den fuldstændige løsning og derefter den løsning, hvis graf går gennem det angivne punkt.

y' = ------------ Punktet ( √( 3 ) , 4 )

x² - 2

Mit forsøg:

∫ y' dy = ∫ x / ( x² - 2 ) dx

Jeg mener at man skal anvende følgende regel - stamfunktion til logaritme og eksponentialfunktioner (Matematisk Formelsamling Gymnasiet Matematisk linje 3 - årigt forløb til A - niveau, regel nr 163).

funktion Stamfunktion

f ( x ) ∫ f ( x ) dx

1 / x ln | x |

∫ y' dy = ∫ x / ( x²- 2 ) dx

Jeg integrerer venstre side af lighedstegnet og højre side af lighedstegnet

y = ∫ x / ( x² - 2 ) dx

y = ln | x | • ln | x² - 2 | + c

Jeg indsætter punktet ( x, y ) = ( √(3) , 4 )

4 = ln |√(3) | • ln | √(3) ² - 2 | + c

4 = ln | 3 | • 0 + c

c = 4

Så jeg for følgende:

y = ln | x | • ln | x² - 2 | + 4

Jeg kan se at min løsning er forkert.

I facitlisten side 395 er facit til sp. b at y = (1 / 2) • ln | x² - 2 | + 4

Se eventuelt den vedhæftede fil med opgave teksten og facit.

Mit spørgsmål er, hvad gør jeg forkert?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #1
12. december 2023 af SuneChr

$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=\frac{x}{x_{2}-2}$ $\textup{d}y=\frac{x}{x^{2}-2}\textup{d}x$
Integrér på begge sider. På højresiden kan benyttes substitution t = x² - 2 ¹/₂dt = xdx

Svar #2
13. december 2023 af ca10

Jeg anvender svar # 1

Jeg burde have indset at man skal foretage integration ved substition, da der er et afsnit i bogen der handler om integration ved substition. Nok om det.

y' = ------------ Punktet ( √( 3 ) , 4 )

x² - 2

Jeg substituerer: t = x² - 2

Differentierer t dt / dx = 2x

Isolerer xdx: dt = 2x dx

1 / 2 dt = xdx

Indsætter t = x² - 2 og xdx = 1 / 2 dt i det oprindelige integral

y = 1/2 • ∫ 1 / t • dt = 1 / 2 • ln | x² - 2 | + c

Indsætter punktet: ( x , y ) = ( √( 3 ) , 4 ) i det oprindelig integral:

4 = 1/2 ln | (√3)² - 2 | + c

4 = 1/2 • ln | 3 - 2 | + c

4 = 1/2 • ln |1| + c

4 = 1/2 • 0 + c

4 = 0 + c

c = 4 som indsættes i det oprindelige integral:

y = 1 / 2 • ln ( x² - 2 ) + 4

Nu passer det med facitlisten, jeg håber jeg har gjort det rigtig.

Brugbart svar (1)

Svar #3
13. december 2023 af ringstedLC

Gør prøve for yderligere sikkerhed:

$\begin{align*} y &= \tfrac{1}{2}\ln\bigl(x^2-2\bigr)+4 \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} &= \tfrac{1}{2}\cdot f'\bigl(g(x)\bigr)\cdot g'(x) &&,\;\left\{\begin{matrix} f(x)=\ln(x)\\ g(x)=x^2-2 \end{matrix}\right. \end{align*}$

Svar #4
13. december 2023 af ca10

Tak for svaret

Jeg ser nærmere på det.

Svar #5
14. december 2023 af ca10

y = 1 / 2 • ln ( x²- 2 ) + 4

dy 1

-------- = ------------- • f ' (g( x )) • g' ( x ) , { f ( x ) = ln ( x ) og g ( x ) = x² - 2

dx 2

(ln' ( x² - 2 ) • ( x² - 2)' + ( 4 )' | x / ( x² - 2 )

Differention af en sammensat funktion

( f o g ) = ( f ( g ( x ))) ' = f ' (g ( x )) • g ' ( x ) = (ln' ( x² - 2 ) • ( x² - 2)' + ( 4 )'

1. Differentialkvotienten af den ydre funktion taget i værdien af den indre funktion er

(1 / 2 ) • 1 / ( x² - 2 ) + 0

2. Differentialkvotienten af den indre funktion taget i x er 2x.

3. Produktet af de to differentialkvotienter er:

1 1 x

f ' (g ( x )) • g ' ( x ) = ------ • ------------- • 2x = -------------

2 x² - 2 x² - 2

(ln' ( x² - 2 ) • ( x² - 2)' + ( 4 )' | x / ( x² - 2 )

x / ( x² - 2 ) | x / ( x² - 2 )

Til Svar # 3 ringstedLC

Mit spørgsmål er, er den måde jeg foretager prøve på, er det gjort korrekt?

På forhånd tak

Brugbart svar (1)

Svar #6
14. december 2023 af ringstedLC

Ja!

Skriv et svar til: Differentialligninger - Opgave 308 side 244. Den fuldstændige løsning og graf, Vejen til Matematik A2, (Knud Erik Nielsen og Esper Fogh)

Du skal være logget ind, for at skrive et svar til dette spørgsmål. Klik her for at logge ind.
Har du ikke en bruger på Studieportalen.dk? Klik her for at oprette en bruger.